第二章 培优微课6 函数的零点问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

与函数的零点有关的问题常常涉及到函数零点的个数问题或已知函数的零点的个数求参数的问题，常利用的方法是转化为函数图象的交点的个数或方程根的情况；有时也利用到零点存在性定理解决问题． 一、利用导数研究函数的零点个数 已知函数f(x)＝kex＋x2(k∈R). (1)若f(x)的图象在点处的切线斜率为ln ，求k的值； (2)当k<0时，判断f(x)在内有几个零点，并证明． 解析：(1)f′(x)＝kex＋2x，则f′＝keln 2＋2ln 2＝ln ，即2k＋ln 4＝ln ， 解得k＝ln ＝. (2)当k<0时，f(x)在内有1个零点，证明如下： 令f(x)＝0，即kex＋x2＝0，则k＝－， 设g(x)＝－，所以g′(x)＝－， 因为当x<0时，ex>0，－>0， 所以当x<0时，g′(x)>0，即g(x)在上单调递增， 因为g(0)＝0，当x<0时，－<0， 所以g(x)∈， 所以当k<0时，y＝k与y＝g(x)在内有1个交点， 即当k<0时，f(x)在内有1个零点． 判断零点的个数问题的思路 1．求出函数的定义域． 2．求导数f′(x)及函数f′(x)的零点． 3．用f′(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值． 4．确定f(x)的图象经过一些特殊点，以及图象的变化趋势． 5．画出f(x)的大致图象，确定零点的个数．　　 即时练1.已知函数f(x)＝－1. (1)求f(x)的单调区间； (2)当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数. 解析：(1)因为f(x)＝－1(x>0)， 所以f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝e1-a. f′(x)及f(x)随x的变化情况如表所示： x (0，e1-a) e1-a (e1-a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x)  极大值  所以f(x)的单调递增区间为(0，e1-a)，单调递减区间为(e1-a，＋∞). (2)由(1)可知f(x)的最大值为f(e1-a)＝， ①当a＝1时，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，e]上单调递减， 又f(1)＝0，故f(x)在区间(0，e]上只有一个零点． ②当a<1时，1－a>0，e1-a>1， 则f(e1-a)＝<0，所以f(x)在区间(0，e]上无零点． 综上，当a＝1时，f(x)在区间(0，e]上只有一个零点；当a<1时，f(x)在区间(0，e]上无零点． 二、由函数的零点个数求参数的范围 已知函数f(x)＝－x＋x ln x． (1)求f(x)的极值； (2)若函数y＝f(x)－m在上有两个不同的零点，求实数m的取值范围． 解析：(1)因为f(x)＝－x＋x ln x，定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝ln x， 令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0， 解得0<x<1， 所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(0，1)， 所以f(x)在x＝1处取得极小值f＝－1，无极大值． (2)y＝f(x)－m在上有两个不同的零点，可转化为y＝f(x)与y＝m的图象有两个不同的交点，如右图： 由(1)易知，f(x)min＝f＝－1，又f＝－， 当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞，所以－1<m≤－. 利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性、极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围．　　 即时练2.已知函数f(x)＝x2－ln x＋在上有零点，则a的最小值是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－ln 2 B．－2ln 2 C．ln 2－1 D．2ln 2－7 D　[函数f(x)＝x2－ln x＋在上有零点，等价于关于x的方程x2－ln x＋＝0在上有解，即a＝2ln x－2x2＋1在上有解． 令h(x)＝2ln x－2x2＋1，则h′(x)＝－4x＝－. 由h′(x)<0，得<x≤2；由h′(x)>0，得≤x<.则h(x)在上单调递增，在上单调递减．因为h＝2ln －2×2＋1＝－2ln 2，h＝2ln 2－2×22＋1＝2ln 2－7，所以h－h＝－4ln 2>0，则h(x)min＝h＝2ln 2－7，即a的最小值为2ln 2－7.故选D.] 即时练3.已知关于x的函数f(x)＝(a≠0). (1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值； (2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围． 解析：(1)f′(x)＝＝，x∈R. 当a＝－1时，f(x)，f′(x)的情况如下表： x (－∞，2) 2 (2，＋∞) f′(