第一章 2.1 第2课时 等差数列的性质及实际应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

第2课时　等差数列的性质及实际应用 [学习目标]　1.了解等差中项的概念，并能用等差中项解决问题．　2.能从函数的角度研究等差数列，能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质．　3.能运用等差数列的性质解决简单的实际问题． 知识点一　等差数列与一次函数的关系 若{an}成等差数列且首项为a1，公差为d≠0，写出其通项公式并思考它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示：an＝a1＋(n－1)d＝d·n＋a1－d，可以看作是斜率为d的一次函数． 1．等差数列的函数特征 对于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可将an记作f(n)，它是定义在正整数集(或其子集)上的函数．其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d． 2．等差数列的增减性 对于an＝dn＋(a1－d)， ①当d>0时，数列{an}为递增数列，如图甲所示； ②当d<0时，数列{an}为递减数列，如图乙所示； ③当d＝0时，数列{an}为常数列，如图丙所示． 学生用书↓第10页 [微提醒]　通项法判定等差数列：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列． 已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n＋1. (1)求首项a1和公差d，并作出它的图象； (2)判断数列{an}的增减性． 解析：(1)因为an＝3n＋1，所以a1＝3＋1＝4，a2＝3×2＋1＝7，d＝a2－a1＝3. 数列{an}的图象是直线y＝3x＋1上一些等间隔的点，如图所示． (2)由(1)知d>0，所以数列{an}是递增数列． 利用一次函数的性质解答等差数列问题的思路 1．等差数列的图象是同一条直线上的一系列孤立的点，因此涉及到等差数列中的项、过两点的直线的斜率及数列的增减性的问题，利用多点共线可快速求解． 2．若a，b，c成等差数列，公差为d(d≠0)，且(a，l)，(b，m)，(c，n)三点共线，则＝＝k(k为常数)，所以m－l＝n－m＝kd，那么l，m，n成等差数列．反之，若a，b，c和l，m，n两组数都成等差数列，则(a，l)，(b，m)，(c，n)三点必共线．　　 即时练1.已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定 B　[等差数列{an}的图象所在直线的斜率k＝＝－2<0，则直线呈下降趋势，故数列{an}单调递减．故选B.] 即时练2.首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是(　　) A．d> B．d<3 C．≤d<3 D．<d≤3 D　[依题意，令该等差数列为{an}，则有an＝－24＋(n－1)d， 因数列{an}从第10项开始为正数，因此即解得<d≤3， 所以公差d的取值范围是<d≤3.故选D.] 知识点二　等差数列的性质 1．在△ABC中，若角A，B，C成等差数列，你能求出B的值吗？ 提示：由等差数列的定义可知B－A＝C－B，即2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝π，所以B＝. 2．在等差数列{an}中，如果p＋q＝m＋n(m，n，p，q∈N＋)，那么ap＋aq与am＋an有何数量关系？ 提示：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d， 所以ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，因为p＋q＝m＋n， 所以ap＋aq＝am＋an. 1．等差中项的概念 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A＝． 2．等差数列的性质 (1)如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq. ①特别地，当p＋q＝2s时，ap＋aq＝2as；此时： as为ap，aq的等差中项； ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 学生用书↓第11页 (2)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列． (3)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． [微提醒]　(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一． (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝. (3)在等差数列{an}中，若l，m，n，p，q，r∈N＋，且l＋m＋n＝p＋q＋r，则al