第一章 2.1 第1课时 等差数列的概念与通项公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§2　等差数列 2．1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列的概念与通项公式 [学习目标]　1.通过生活实例，理解等差数列的定义．　2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题． 知识点一　等差数列的概念 观察下面数列，它们有什么共同特征吗？ (1)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，每一圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63； (2)某型号女装对应的尺码分别是由小到大可排列为(单位：码)：38，40，42，44，46，48； (3)在某地区不同海拔的地方选取5处测量的大气温度，分别为(单位：℃)：25，17，9，1，－7. 提示：在(1)中，从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于9； 在(2)中，从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于2； 在(3)中，从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于－8. 学生用书↓第7页 等差数列的定义 对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示． 由定义知an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋)或an＋1－an＝d(n∈N＋). [微提醒]　(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去它前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． (1)判断下列数列是否为等差数列，并说明理由： ①an＝3n＋2；②an＝n2＋n. (2)已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝.数列是否为等差数列？说明理由． 解析：(1)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N＋)，这个数列为等差数列． ②an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是一个常数，所以这个数列不是等差数列． (2)数列是等差数列，理由如下：因为a1＝2，an＋1＝，所以＝＝＋，所以－＝，即是首项为＝，公差为d＝的等差数列． 判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它前一项的差是否为同一个常数，即验证an＋1－an(n∈N＋)是不是一个与n无关的常数．　　 即时练1.(多选)下列命题中正确的是(　　) A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列 C．数列{2n＋1}是等差数列 D．数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列 BC　[A中，数列是公差为－2的等差数列； B中，a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列； C中，an＋1－an＝2(n＋1)＋1－2n－1＝2为常数，是等差数列； D中，a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列．故选BC.] 即时练2.已知数列{an}中，a1＝3，an＝2－(n≥2，n∈N＋).设bn＝(n∈N＋).求证：数列{bn}是等差数列． 证明：当n≥2时，bn－bn－1＝－＝－＝－＝＝1，所以{bn}是等差数列，且首项b1＝＝＝，公差为1. 知识点二　等差数列的通项公式 根据等差数列的定义，你能推导它的通项公式吗？ 提示：设一个等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， 法一(迭代法)：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，… 归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2). 当n＝1时上式成立， 故an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋). 法二(累加法)：a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， … an－an－1＝d， 左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2). 当n＝1时上式成立， 故an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋). 等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． [微提醒]　(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d，n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项． (2)等差数列的通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d，它阐明了等差数列中任意两项的关系；也可以变形为d＝，知道等差数列中任意两项，可以求公差d. (1)求等差数列10，8，6，…的第20项； (2)已知在等差数列{an}中，a5＝－20，a20＝－35.试求出数列的通项公式． 解析：(1)由于a1＝10，d＝－2，