第一章 1.2 数列的函数特性-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

1.2　数列的函数特性 [学习目标]　1.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数．　2.了解数列的几种表示方法．　3.能从函数的观点研究数列． 知识点一　数列与函数的关系 1．已知数列： (1)3，4，5，6，7，8，9. (2)1, ，，，… (3)5 300，5 300，5 300，…，5 300. 你能作出它们的图象吗？ 提示： 2．观察上述数列以及作出的数列的图象，你能说出每个数列中项的变化规律吗？ 提示：数列的图象是由一些点组成的：(1)逐渐变大，对应函数的图象是上升的．(2)逐渐变小，对应函数的图象是下降的．(3)不变，这些点在与x轴平行的一条直线上． 数列与函数的关系 可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为(k，ak)，k＝1，2，3，…这个图象也称为数列的图象． [微提醒]　(1)数列的图象是横坐标为正整数的一系列离散的点． (2)可以用函数的观点、方法研究数列的增减性． (3)一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列． 已知下列数列{an}的通项公式为an，画出数列的图象，并判断数列的增减性． (1)an＝；(2) an＝(－1)n＋2. 解析：(1)图象如图所示，在该数列中，从a1到a4递减，从a5到an递减，但a1<a5，因此数列{an}既不是递增数列，也不是递减数列． (2)由题可知，数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋2，n∈N＋， 所以a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1，…， 则数列{an}的图象如图所示，所以该数列既不是递增数列，也不是递减数列． 利用数列的图象判断数列的增减性 数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性．　　 即时练1.数列{an}的通项公式an＝，写出数列的前5项，画出数列的图象并判断其增减性． 解析：数列{an}的前5项分别为：a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝. 图象如图．由图可知，该数列为递减数列． 学生用书↓第5页 知识点二　数列的增减性 利用数列的图象可以直观地判断数列的增减性，还可以怎样判断数列的增减性呢？ 提示：利用递增、递减数列的定义，或利用对应函数在[1，＋∞)上的单调性． 数列的增减性 名称 定义 判断方法 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项 an＋1>an 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项 an＋1<an 常数列 各项都相等 an＋1＝an {an}为递增数列⇔an＋1－an>0；{an}为递减数列⇔an＋1－an<0． 已知数列{an}的通项公式是an＝，判断数列{an}的增减性． 解析：法一(作差法)：因为an＋1－an＝－＝＝>0， 所以an＋1>an对任意的n∈N*都成立，所以{an}是递增数列． 法二(作商法)：因为an＝>0， 所以＝·＝＝>1， 所以an＋1>an对任意的n∈N*都成立，所以{an}是递增数列． 法三(函数性质法)：因为an＝＝＝2－，由于函数 y＝2－在上单调递增，所以{an}是递增数列． [变式探究]　(变条件)本例若把数列{an}的通项公式改为an＝(k>0，且k为常数)，试判断数列{an}的增减性． 解析：因为k>0，n∈N＋，所以an>0，＝·＝<1，所以an＋1<an，所以{an}是递减数列． 1．增减性是数列的一个重要性质．判断数列的增减性，通常是运用作差、作商、函数单调性等方法判断an＋1与an (n∈N*)的大小． 2．比较法 (1)作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论． (2)作商法，将与1进行比较(在作商时，要注意an<0还是an>0).　　 即时练2.(多选)(2023·辽宁葫芦岛期中)下列数列中，为递增数列的是(　　) A. B． C. D． AC　[对于A，因为－＝5n+1－5n＝4·5n>0，所以数列为递增数列，A正确； 对于B，因为[－2＋6]－＝－2n＋5， 所以当n≤2时，数列递增；当n≥3时，数列递减，B错误； 对于C，因为3＋6－＝3，所以数列为递增数列，C正确； 对于D，因为1－log2－＝log2<log21＝0，所以数列为递减数列，D错误．故选AC.] 即时练3.已知递增数列{an}的通项公式为an＝2kn＋1，则实数k的取值范围是________． 解析：因为{an}是递增数列，所以an＋1－an＝[2k(n＋1)＋1]－(2kn＋1)＝2k>0，所以k>0. 答案：(0，＋∞) 数列的最大(小)项 已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N，n≥1). (1)依次写出数列{an}的前5项； (2)研究数列{