第一章 1.1 数列的概念-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§1　数列的概念及其函数特性 1．1　数列的概念 [学习目标]　1.了解数列及其有关概念．　2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项． 3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式． 知识点一　数列的概念与分类 观察下面实例，它们有什么异同点？ (1)2022年北京冬奥会中国获得的金牌、银牌、铜牌、奖牌总数依次为：9，4，2，15. (2)正弦函数f(x)＝sin x在[0，＋∞)上的零点从左到右依次为：0，π，2π，3π，4π，… (3)正奇数1，3，5，7，…的倒数依次排成一列数为： 1，，，，… 提示：相同点：都是按照一定的次序排列的一列数；不同点：(1)中只有四个数；而(2)(3)中都有无穷多个数． 1．数列的概念 (1)按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． (2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，或简记为数列{an}，其中a1是数列的第1项，也叫数列的首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项． 2．数列的分类 根据数列的项数可以将数列分为两类： (1)有穷数列——项数有限的数列． (2)无穷数列——项数无限的数列． [微提醒]　(1)数列概念中“按一定次序排列”是关键，数字相同，排列顺序不同的两列数不是同一数列． (2)有穷数列与无穷数列的分类标准是数列项数是有限还是无限． (1)下列说法中正确的是(　　 ) A．数列1，3，5，7可以表示为{1，3，5，7} B．数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列 C.数列的第k项为1＋ D．数列{an}与an是相同的 C　[对于A，{1，3，5，7}是一个集合，故A错误； 对于B，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故B错误； 对于C，因为an＝，则ak＝＝1＋，故C正确； 对于D，数列{an}与an是不同的，{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，而an表示数列{an}中的第n项，故D错误．故选C.] 数列概念的三个注意点 1．数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别． 2．如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列． 3．同一个数在数列中可以重复出现．　　 即时练1.下列说法正确的是(　　 ) A．数列1，2，3，4，5，6与数列1，2，5，6，3，4是同一个数列 B．数列1，2，3，4，5，6可以表示为{1，2，3，4，5，6} C．0，2，4，6，8，…，2n是无穷数列 D．1，1，1，1，1，…是一个数列 D　[两个数列只有元素相同，排列顺序也相同时，才是同一个数列，故A不正确；数列与集合不同，数列不能表示成集合的形式，故B不正确；当n确定后，数列0，2，4，6，8，…，2n的项数就确定了，所以该数列是有穷数列，故C错误；根据数列定义知D正确．故选D.] 学生用书↓第2页 知识点二　数列的通项公式 观察下面的数列，能否用一个式子表示数列中的每一项？这个式子是什么？ (1)1，2，3，4，5，… (2) 2，4，6，8，10，… (3)，，，，，… 提示：能．(1)中an＝n，n∈N＋，(2)中an＝2n，n∈N＋，(3)中an＝，n∈N＋. 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． [微提醒]　(1)数列的通项公式是一个函数关系式，它的定义域是N＋(或它的有限子集). (2)不是所有的数列都有通项公式；如果有通项公式，形式也不是唯一的． (3)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②判断某数是不是该数列中的一项． 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数． (1)，，，；(2)－，，－，； (3)3，4，3，4; (4)6，66，666，6 666. 解析：(1)4个项都是分数，它们的分子依次为2，22，23，24，分母是正奇数，依次为2×1＋1，2×2＋1，2×3＋1，2×4＋1，所以给定4项都满足的一个通项公式为an＝. (2)4个项按先负数，后正数，正负相间排列，其绝对值的分子依次为1，2，3，4，分母比对应分子多1，所以给定4项都满足的一个通项公式为an＝(－1)n. (3)4个项是第1，3项均为3，第2，4项均为4，所以给定4项都满足的一个通项公式为an＝(k∈N*). (4)4个项中所有项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致，依次可写为6＝×(10－1)，66＝×(102－1)，666＝×(103－1)，6 666＝×(104－1)，所以给定4项都满足的一个通项公式为an＝(10n－1)＝(10n－1).