第一章 5 数学归纳法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

*§5　数学归纳法 [学习目标]　1.了解数学归纳法的原理．　2.能用数学归纳法证明一些简单命题． 知识点　数学归纳法 我们从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？ 提示：需要具备的条件：(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题． 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立． [微提醒]　(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 角度一　利用数学归纳法证明等式成立 用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，n∈N＋. 证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立， 即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 那么当n＝k＋1时， 左边＝1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋－ ＝＋＋…＋＋＋ ＝＋＋…＋＋＝右边． 所以当n＝k＋1时等式也成立．综合(1)(2)知对一切n∈N＋，等式都成立． 用数学归纳法证明等式成立的方法 　　 即时练1.证明：＋＋…＋＝(n∈N＋). 证明：(1)当n＝1时，左边＝＝， 右边＝＝， 左边＝右边，所以等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有 ＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时， ＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝. 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n∈N＋等式都成立． 角度二　利用数学归纳法证明不等式成立 证明：＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋). 证明：(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＝，故左边>右边，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即＋＋…＋>， 则当n＝k＋1时， ＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋ ＋> ＋，* 法一：(分析法)下面证＋＋－≥0， 只需证(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0， 只需证(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k2＋27k＋6)≥0， 只需证9k＋5≥0，显然成立． 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 法二：(放缩法)＋＋＋－>＋＝， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立． 学生用书↓第40页 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 　　 即时练2.用数学归纳法证明：不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N＋). 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立， 即1＋＋＋…＋<2， 则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2＋＝ <＝＝2. 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N＋都成立． 归纳—猜想—证明 已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝，且a1＝. (1)求a2，a3； (2)猜想数列{an}的通项公式，并证明． 解析：(1)a2＝＝， a1＝，则a2＝，同理求得a3＝. (2)由a1＝，a2＝，a3＝，…， 猜想an＝. 证明：①当n＝1时，a1＝，等式成立； ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立， 即ak＝， 那么当n＝k＋1时，由题设an＝， 得ak＝，ak＋1＝， 所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)·＝. Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－， 因此，k(2k＋3)ak＋1＝， 所以ak＋1＝ ＝. 所以当n＝k＋1时，命题成立． 由①②可知，命题对任何n∈N＋都成立． “归纳—猜想—证明”的解题步骤 　　 即时练3.请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：①Sn－1＋an＝n2(n∈N，n≥2)；②an＋1＝nan－2n2＋3n＋1(n∈N，n≥1) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1＝1，________． (1)求a2，a3，a4； (2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明． 解析：(1)选择条