第一章 3.2 第2课时 等比数列的前n项和的性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

第2课时　等比数列的前n项和的性质 [学习目标]　1.探索并掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．　2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． 知识点一　等比数列前n项和公式的函数特征 等差数列前n项和公式是关于n的二次函数形式，可以利用二次函数的性质研究等差数列的前n项和的某些特性，那么等比数列前n项和公式是否具有函数特征呢？ 提示：等比数列前n项和公式也具有函数特征，由Sn＝＝－qn＋， 设A＝－，则Sn＝Aqn－A. 等比数列前n项和公式的函数特征 在等比数列前n项和公式中，当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． [微提醒]　等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数． 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列． 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n-1－2)＝2·3n-1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式． 所以an＝ 法一：由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列． 法二：由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，2≠1，故{an}不是等比数列． 学生用书↓第28页 [变式探究] 1．(变条件、变设问)若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n+1－2k，则实数k＝________． 解析：因为Sn＝3n+1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列，所以3－2k＝0，即k＝. 答案： 2．(变条件、变设问)若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝a·＋5，则实数a＝________． 解析：由Sn＝a·＋5，可得Sn＝3a·＋5，依题意有3a＋5＝0，故a＝－. 答案：－ 1．已知Sn，通过an＝求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1. 2．若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．　　 即时练1.若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n-1＋t，则t＝________． 解析：由Sn＝3n-1＋t，可得Sn＝·3n＋t，依题意，有＋t＝0，故t＝－. 答案：－ 知识点二　等比数列前n项和的“片段和”性质 1．你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n? 提示：思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm ＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm. 2．类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？ 提示：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q＝1时，结论显然成立； 当q≠1时，Sn＝，S2n＝，S3n＝. S2n－Sn＝－＝， S3n－S2n＝－ ＝， 而(S2n－Sn)2＝，Sn(S3n－S2n)＝×， 故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S2n－Sn＝qnSn， S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 3．类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 提示：若等比数列{an}共有2n项，则 其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即 S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q. 若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1， 从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有 S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶． 1．“片段和”性质 (1)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋). (2)若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和(n为偶数且q＝－1除外