第一章 3.2 第1课时 等比数列的前n项和-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 [学习目标]　1.探索并掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．　2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． 知识点一　等比数列前n项和公式的基本运算 1．已知等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，若q＝1时，Sn与a1有何关系？ 提示：当q＝1时，等比数列为常数列，Sn＝na1. 2．在上述问题中，若q≠1时，如何求该等比数列的前n项的和？ 提示：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-2＋a1qn-1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得 qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn-1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)， 当q≠1时，有Sn＝，上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”． 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 求和 公式 Sn＝ Sn＝ [微提醒]　(1)等比数列前n项和公式及通项公式中共有五个量a1，q，an，n，Sn，这五个量可“知三求二”． (2)利用等比数列的前n项和公式求和时，要特别注意公比q的取值，应分q＝1和q≠1两种情况，如果其中含有参数不能确定时，必须进行分类讨论． 求下列等比数列前8项的和： (1)，，，…； (2)a1＝27，a9＝，q<0. 解析：(1)因为a1＝，q＝，所以S8＝＝. (2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.又由q<0，可得q＝－， 所以S8＝＝＝＝. 求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立．　　 即时练1.正项等比数列{an}满足a1＝2，a5－a3＝24，则{an}的前7项和S7＝(　　) A．256 B．254 C．252 D．126 B　[设正项等比数列{an}的公比为q，且q＞0，因为a1＝2，a5－a3＝24，所以a1·q4－a1·q2＝24，即q4－q2＝12，即＝0，则q＝2， 所以S7＝＝28－2＝254.故选B.] 即时练2.(多选)已知各项均为正数且单调递减的等比数列{an}满足a3，a4，2a5成等差数列，其前n项和为Sn，且S5＝31，则(　　) A.an＝n-5 B．an＝2n+1 C.Sn＝32－ D．Sn＝2n+4－16 AC　[由a3，a4，2a5成等差数列，得3a4＝a3＋2a5.设{an}的公比为q(0<q<1)，则2q2－3q＋1＝0，解得q＝或q＝1(舍去)，所以S5＝＝31，解得a1＝16. 所以数列{an}的通项公式为an＝16·＝，Sn＝＝32－.故选AC.] 学生用书↓第26页 知识点二　等比数列前n项和的实际应用 一个热气球在第一分钟上升了30 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的60%，求该热气球在前n分钟里上升的总高度，并判断这个热气球上升的高度是否能超过75 m，请说明理由． 解析：用an表示热气球在第n分钟上升的高度，n∈N*，由题意可知：an＋1＝an， 所以数列{an}是首项为a1＝30，公比q＝的等比数列， 所以该热气球在前n(n∈N*)分钟里上升的总高度为Sn＝＝＝75×，因为75×<75， 故这个热气球上升的高度不可能超过75 m． 解答数列实际应用问题的方法 1．判断、建立数列模型 (1)变化“量”是同一个常数：等差数列； (2)变化“率”是同一个常数：等比数列． 2．提取基本量 从条件中提取相应数列的基本量a1，q(d)，n，an，Sn，列出方程(组)求解．　　 即时练3.(2023·陕西榆林期中)《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍．请问第几天，莞的长度是蒲的长度的2倍(　　) A．4天 B．5天 C．6天 D．7天 A　[由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，所以蒲生长构成首项为a1＝4，公比为q1＝的等比数列，其前n项和为Sn＝＝8－， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，则莞生长构成首项为b1＝1，公比为q2＝2的等比数列，其前n项和为Tn＝＝2n－1，又因为Tn＝2Sn，即2n－1＝2×，解得n＝4.故选A.] 等比数列前n项和公式与通项公式的综合应用 在①a1＝1，②a2＋a4＝10，③数列为等比数列这三个条件中选出两个，补充在下面的横线上，并解答后面的问题． 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，________． (1)求数列