第二章 3 导数的计算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

§3 导数的计算 　 第二章 导数及其应用 学习目标 1.理解导函数的定义．　 2.掌握基本函数的导数公式．　 3.能利用给出的导数公式求简单函数的导数． 课 时 精 练 知识点二　基本函数的导数 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　导函数 内 容 索 引 知识点一　导函数 索引 问题导思 2．你能求出f′(1)，f′(2)吗？当x0在定义域内任意取值时，f′(x0)的值如何？ 新知形成 f′(x) 导数 f′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，它是一个确定的函数，是对一个区间而言的；f′(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，它是一个确定的值，是函数f′(x)的一个函数值． 微提醒 例1 利用导函数的定义求函数f(x)＝(2x＋1)(3x－1)的导数，并求x＝0和x＝2处的导数值． 因为f(x)＝(2x＋1)(3x－1)＝6x2＋x－1， 所以f′(0)＝1，f′(2)＝12×2＋1＝25. 利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤 第一步：确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数； 第二步：计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； 方法技巧 即时练1.求函数f(x)＝x2＋5x的导函数，并求f′(3). 所以f′(3)＝2×3＋5＝11. 即时练2.利用导数定义求f(x)＝1的导函数，并求f′(2)，f′(3). 所以有f′(2)＝0，f′(3)＝0. 索引 知识点二　基本函数的导数 索引 问题导思 下面是某同学利用导数的定义求出的几个幂函数的导数： f(x)＝x⇒f′(x)＝1＝1×x1-1； f(x)＝x2⇒f′(x)＝2x＝2x2-1； f(x)＝x3⇒f′(x)＝3x2＝3x3-1； 你认为幂函数的导数有什么特点？能总结一下规律吗？ 提示：通过观察，我们发现这几个幂函数的导数有规律，即(xα)′＝αxα-1. 新知形成 基本函数的导数公式 函数 导数 y＝c(c是常数) y′＝___ y＝xα(α是实数) y′＝αxα-1 y＝ax(a>0，a≠1) y′＝_______，特别地(ex)′＝____ y＝logax(a>0，a≠1) y′＝________，特别地(ln x)′＝____ y＝sin x y′＝______ y＝cos x y′＝________ y＝tan x y′＝________ 0 axlna ex cosx －sinx 微提醒 例2 求下列函数的导数： (1)y＝x13； y′＝(x13)′＝13x13-1＝13x12. (3)y＝log3x； 求简单函数的导函数的基本方法 1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导． 2．若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导．　　 方法技巧 即时练3.(多选)下列结论正确的是 √ √ √ cos x 索引 综　合　应　用 索引 例3 导数公式的应用 点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． 根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的 切线斜率为1，即f′(x0)＝1. 因为y′＝(ex)′＝ex， 所以e ＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1， 即P(0，1). x0 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题．解题的关键是将问题转化为切点或切线的相关问题，利用导数求解．　　 方法技巧 即时练5.若幂函数f(x)＝xα的图象过点(4，8)，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为 A．x＋3y－28＝0 B．3x＋y－20＝0 C．3x－y－4＝0 D．x－3y＋20＝0 √ 因为y＝f(x)＝sin x， 所以f′(x)＝cos x， 曲线y＝f(x)在点B(π，0)处的切线方程为y＝－(x－π)，即y＝－x＋π. (2)曲线y＝cos x在哪些点处切线的斜率为1？在哪些点处的切线平行于x轴？ 因为y＝cos x， 所以y′＝－sin x， 令y′＝－sin x＝1， 令y′＝－sin x＝0，解得x＝2kπ，k∈Z或x＝π＋2kπ，k∈Z， 当x＝2kπ，k∈Z时，cos (2kπ)＝1； 当x＝π＋2kπ，k∈Z时，cos (π＋2kπ)＝－1； 所以曲线y＝cos x在点(2kπ，1)，k∈Z或(π＋2kπ，－1)，k∈Z处的切线平行于x轴． 索引 索引 常数函数的导数为0.故选C. √ 2．设函数f(x)＝x2，f′(x0)＝2，则x0＝ A．0 B．1 C．2 D．3 因为f′(x)＝2x，所以f′