第二章 2.2 导数的几何意义-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

2.2 导数的几何意义 　 第 二 章 §2 导数的概念及其几何意义 学习目标 1.通过函数图象直观地理解导数的几何意义．　 2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 课 时 精 练 知识点二　切线方程 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　导数的几何意义 内 容 索 引 知识点一　导数的几何意义 索引 问题导思 提示：表示过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线． 2．当Δx变化时，直线如何变化？当Δx→0时，直线变化到哪里？ 提示：直线AB绕点A转动．当Δx→0时，直线变化到过点A与曲线y＝f(x)相切的位置． 新知形成 1．割线的定义 2．切线的定义 如图，当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于______，割线AB将绕点A转动趋于直线l，称直线l为曲线y＝f(x)在______处的切线，或称直线l和曲线y＝f(x)在点A处相切． 斜率 点A 点A 3．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的____________，函数y＝f(x)在x0处____________反映了导数的几何意义． 切线的斜率 切线的斜率 微提醒 例1 (1)(2023·广东江门期中)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 A．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0 B．f′(1)<f′(2)<f′(3)<0 C．0<f′(1)<f′(2)<f′(3) D．f′(1)>f′(2)>0>f′(3) √ 由函数f(x)的图象可知，当x>0时，f(x)单调递增，所以f′(1)，f′(2)，f′(3)>0，因为随着x的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，所以f′(1)>f′(2)>f′(3)>0.故选A. (2)如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)等于 A． 　　 B．3 C．4 　　 D．5 √ 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．　　 方法技巧 √ 由题图可知函数在A点的切线斜率小于0，即f′(x1)<0，在B点的切线斜率等于0，即f′(x2)＝0，在C点的切线斜率大于0，即f′(x3)>0，所以f′(x3)>f′(x2)>f′(x1).故选B. 索引 即时练2.(2023·重庆渝中区月考)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，设f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是 √ A．f′(1)<f′(2)－f′(1)<f′(2) B．f′(2)<f′′(1)<f(2)－f′(1) C．f′′(1)<f′(2)<f(2)－f′(1) D．f(2)－f′(1)<f′(2)<f′′(1) 知识点二　切线方程 索引 问题导思 若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为f′(x0)，你能写出y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程吗？ 提示：根据点斜式方程：y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 新知形成 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为f′(x0)，则y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为____________________． y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 微提醒 切点(x0，f(x0))在曲线上也在切线上． 例2 所以曲线在点P(2，4)处切线的斜率为 所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 变式探究 (变结论)本例曲线方程不变，求曲线过点P(2，4)的切线方程． 所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2. 故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 求曲线在某点处的切线方程的步骤 方法技巧 索引 即时练3.已知曲线y＝3x2－x，求曲线上的点A(1，2)处的切线斜率及切线方程． 当Δx趋于0时，5＋3Δx趋于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1，2)处的切线斜率是5. 所以切线方程为y－2＝5(x－1)， 即5x－y－3＝0. 综　合　应　用 索引 例3 导数几何意义的应用 已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°； 设切点坐标为(x0，y0)，则 (2)切线平行于直线4x－y－2＝0； 因为抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， 所以k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，所以切点坐标为(1，3). (3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0. 求切点坐标的步骤 第一步：设出切点坐标