第二章 2.1 导数的概念-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

2.1 导数的概念 　 第 二 章 §2 导数的概念及其几何意义 学习目标 1.理解导数的概念．　 2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．　 3.理解导数的实际意义． 课 时 精 练 知识点二　函数在某点处的导数及意义 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　导数的概念 内 容 索 引 知识点一　导数的概念 索引 问题导思 1．如图，摩托车在比赛过程中的运动方程为s(t)＝3t2＋8，其中s表示位移，t表示时间，如果教练员知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好的指导运动员比赛，你能求出摩托车在前3 s内的平均速度和在3 s时的瞬时速度吗？ 提示：9 m/s；18 m/s. 2．对于函数s(t)＝3t2＋8，当t从t0变到t0＋Δt时，s(t)＝3t2＋8关于t的平均变化率是多少？当Δt趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？ 新知形成 导数的定义 固定的值 (1)函数应在x0的附近有定义，否则导数不存在． (2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关． (3)导数的实质是一个极限值． 微提醒 例1 √ 利用导数定义解题时，要充分体会导数定义的实质，虽然表达式不同，但表达的实质可能相同．　　 方法技巧 索引 A．－1 B．－2 C．1 D．2 √ 所以f′(3)＝－1，故选A. 知识点二　函数在某点处的导数及意义 索引 问题导思 一质点的运动位移s(单位：m)是关于时间t(单位：s)的函数：s＝s(t)＝－2t＋3.根据导数的定义你能求出s′(1)，并解释它的实际意义吗？ 新知形成 对于函数f(x)，f′(x0)的意义就是函数f(x)在x＝x0处的____________． 瞬时变化率 例2 所以f′(2)＝－1. 由导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法 1．求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0). 方法技巧 A．－4 B．2 C．－2 D．±2 √ 索引 综　合　应　用 索引 例3 导数在实际问题中的意义 将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8).求函数f(x)＝x2－7x＋15在x＝2和x＝6时的导数，并说明它们的意义． f′(2)表示当x＝2 h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降． f′(6)表示当x＝6 h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升． 首先要理解导数与平均变化率的概念，才能根据实际问题体会到导数的实际意义．　　 方法技巧 即时练4.有一边长为10 cm的正方形铁板(此时铁板温度为0 ℃)，加热后铁板会膨胀，已知铁板温度为t ℃(t>0)时，其边长膨胀为10(1＋at)cm，其中a为常数，求铁板面积对温度t的瞬时膨胀率． 设温度的增量为Δt，则铁板面积的增量为ΔS＝100[1＋a(t＋Δt)]2－100(1＋at)2 ＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2， ＝200(a＋a2t)＋100a2Δt. 故铁板面积对温度t的瞬时膨胀率为200a(1＋at). 索引 索引 √ 2．函数y＝x2在x＝1处的导数为 A．2x B．2＋Δx C．2 D．1 √ 3．已知物体做直线运动对应的函数为S＝S(t)，其中S表示路程，t表示时间．则S′(4)＝10表示的意义是 A.经过4 s后物体向前走了10 m B．物体在前4 s内的平均速度为10 m/s C．物体在第4 s内向前走了10 m D．物体在第4 s时的瞬时速度为10 m/s 因为物体做直线运动的方程为S＝S(t)，根据导数的物理意义可知，S(t)函数的导数是t时刻的瞬时速度，所以S′(4)＝10表示的意义是物体在第4 s时的瞬时速度为10 m/s.故选D. √ 索引 4．已知函数y＝f(x)＝2ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝_____． 1 课　时　精　练 索引 基础达标 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 A．表示当t＝t0时汽车的加速度 B．表示当t＝t0时汽车的瞬时速度 C．表示当t＝t0时汽车的路程变化率 D．表示当t＝t0时汽车与起点的距离 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ A．汽车刹车后1 s内的位移 B．汽车刹车后1 s内的平均速度 C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D．汽车刹车后1 s时的瞬时加速度 √ √ 由导数的实际意义可知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度，则s′(1)为汽车刹车