第一章 1.2 数列的函数特性-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

1.2　数列的函数特性 　 第 一 章 §1　数列的概念及其函数特性 学习目标 1.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数． 2.了解数列的几种表示方法．　 3.能从函数的观点研究数列． 课 时 精 练 知识点二　数列的增减性 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　数列的函数特征 内 容 索 引 知识点一　数列与函数的关系 索引 问题导思 1．已知数列： (1)3，4，5，6，7，8，9. (3)5 300，5 300，5 300，…，5 300. 你能作出它们的图象吗？ 提示： 2．观察上述数列以及作出的数列的图象，你能说出每个数列中项的变化规律吗？ 提示：数列的图象是由一些点组成的：(1)逐渐变大，对应函数的图象是上升的．(2)逐渐变小，对应函数的图象是下降的．(3)不变，这些点在与x轴平行的一条直线上． 新知形成 数列与函数的关系 可以把一个数列视作定义在__________(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为_________________________这个图象也称为数列的图象． 正整数集 (k，ak)，k＝1，2，3，… (1)数列的图象是横坐标为正整数的一系列离散的点． (2)可以用函数的观点、方法研究数列的增减性． (3)一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列． 微提醒 例1 已知下列数列{an}的通项公式为an，画出数列的图象，并判断数列的增减性． 图象如图所示，在该数列中，从a1到a4递减，从a5到an递减，但a1<a5，因此数列{an}既不是递增数列，也不是递减数列． (2) an＝(－1)n＋2. 由题可知，数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋2，n∈N＋， 所以a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1，…， 则数列{an}的图象如图所示，所以该数列既不是递增数列，也不是递减数列． 利用数列的图象判断数列的增减性 数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性．　 方法技巧 索引 即时练1.数列{an}的通项公式an＝ ，写出数列的前5项，画出数列的图象并判断其增减性． 图象如图．由图可知，该数列为递减数列． 知识点二　数列的增减性 索引 问题导思 利用数列的图象可以直观地判断数列的增减性，还可以怎样判断数列的增减性呢？ 提示：利用递增、递减数列的定义，或利用对应函数在[1，＋∞)上的单调性． 新知形成 数列的增减性 {an}为递增数列⇔an＋1－an_____；{an}为递减数列⇔an＋1－an_____． 名称 定义 判断方法 递增数列 从第2项起，每一项都______它的前一项 an＋1>an 递减数列 从第2项起，每一项都______它的前一项 an＋1<an 常数列 各项都______ an＋1＝an 大于 小于 相等 >0 <0 例2 所以an＋1>an对任意的n∈N*都成立，所以{an}是递增数列． 所以an＋1>an对任意的n∈N*都成立，所以{an}是递增数列． 变式探究 (变条件)本例若把数列{an}的通项公式改为an＝ (k>0，且k为常数)，试判断数列{an}的增减性． 1．增减性是数列的一个重要性质．判断数列的增减性，通常是运用作差、作商、函数单调性等方法判断an＋1与an (n∈N*)的大小． 2．比较法 (1)作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论． (2)作商法，将 与1进行比较(在作商时，要注意an<0还是an>0).　　 方法技巧 即时练2.(多选)(2023·辽宁葫芦岛期中)下列数列中，为递增数列的是(　　) √ √ 即时练3.已知递增数列{an}的通项公式为an＝2kn＋1，则实数k的取值范围是________． 因为{an}是递增数列，所以an＋1－an＝[2k(n＋1)＋1]－(2kn＋1)＝2k>0，所以k>0. (0，＋∞) 索引 综　合　应　用 索引 例3 数列的最大(小)项 (1)依次写出数列{an}的前5项； (2)研究数列{an}的增减性，并求数列{an}的最大项和最小项． 当n≤49时，an>1且{an}递增；当n≥50时，0≤an<1且{an}递增． 求数列中的最大(最小)项问题的两种方法 方法技巧 (1)求证：数列{an}先递增后递减； 综上，数列{an}从第1项到第8项递增，从第9项起递减，即数列{an}先递增后递减． (2)求数列{an}中的最大项． 索引 索引 1．已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是 A．一条直线 B．一条线段 C．一条射线 D．一群孤立的点 因为an＝