第一章 培优微课3 数列求和（二）-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

培优微课3 数列求和（二） 　 第一章 数列 一、错位相减求和 数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＝8，a3＝32，bn＝log2an(n∈N*). (1)求数列{bn}的通项公式，并证明数列{bn}是等差数列； 例1 所以an＝a1qn-1＝8×2n-1＝2n+2，bn＝log2an＝log22n+2＝n＋2， bn＋1－bn＝(n＋3)－(n＋2)＝1(常数)，b1＝3， 所以数列{bn}是首项为3，公差为1的等差数列． 1．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法． 2．用错位相减法求和时的注意点 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式． 方法技巧 (1)求数列{cn}的通项公式； 因为anbn＋1－an＋1bn－3anan＋1＝0，an>0， 所以{cn}是首项为1，公差为3的等差数列． 所以cn＝1＋3(n－1)＝3n－2. 二、裂项相消求和 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*). (1)求{an}的通项公式； 设等差数列{an}的公差为d，由S4＝4S2，可得4a1＋6d＝4(2a1＋d)，即2a1＝d； 例2 又因为a2n＝2an＋1，取n＝1，所以a2＝2a1＋1，即a1＋1＝d；故可得a1＝1，d＝2. 故{an}的通项公式为an＝2n－1. 由b1＋3b2＋…＋(2n－1)bn＝n， 当n≥2时，b1＋3b2＋…＋(2n－3)bn－1＝n－1， 1.裂项相消法的原理与规律 (1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的． (2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止． (3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 方法技巧 2．常见的裂项技巧 方法技巧 即时练2.(2023·湖南岳阳高二期中)已知数列an的前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an，a1＝1. (1)求数列{an}的通项公式； 由已知得，n≥2时，2Sn－1＝nan－1， 例3 三、分段数列求和 (2023·福建莆田高二期中)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2an－2(n∈N*)，bn＝2log2an. (1)求证：数列{an}是等比数列； 数列{an}的前n项和Sn＝2an－2，n∈N*， 则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1， 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2， 所以数列{an}是以首项为2，公比为2的等比数列． (2)令cn＝an＋(－1)nbn，求数列{cn}的前n项和Tn. 由(1)知，an＝2n，bn＝2log22n＝2n，cn＝2n＋(－1)nbn， 当n为偶数时，(－1)n-1bn－1＋(－1)nbn＝－bn－1＋bn＝－2(n－1)＋2n＝2， 已知数列的通项公式是分段函数的形式，多数情况下都是分n是奇数还是偶数两种情况讨论或通项公式中含有(－1)n时，然后再分n是奇数还是偶数进行讨论． 方法技巧 即时练3.(2023·山东菏泽期末)已知数列{an}的前n项和是An，数列{bn}的前n项和是Bn，若a1＝1，an＋1＝2an＋1，n∈N*，再从三个条件：①Bn＝－n2＋21n；②Bn＋1－bn＝Bn－2，b1＝20；③bn＝22－2log2(an＋1)中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答(如果选择多组条件解答，则以选择第一组解答记分). (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，则a1＋1＝2， 所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，即an＝2n－1. 若选①，当n＝1时，b1＝B1＝20，当n≥2时，bn＝Bn－Bn－1＝22－2n，b1＝20满足上式， 所以bn＝22－2n. 若选②，由Bn＋1－bn＝Bn－2得bn＋1－bn＝－2，所以数列{bn}是以20为首项，－2为公差的等差数列，所以bn＝22－2n. 若选③，则bn＝22－2log2(an＋1)＝22－2n. 当n≥4时，Tn＝1＋3＋7＋[14＋12＋…＋(22－2n)]＝－n2＋21n－43， 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 数 列 上述两式作差可得bn＝(n≥2)，且b1＝1满足上式， (1)＝. (2)＝(－). (3)＝. (4)＝ . 与