第一章 3.2 第2课时 等比数列的前n项和的性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

3.2　等比数列的前n项和 第2课时　等比数列的前n项和的性质 　 第 一 章 §3　等比数列 学习目标 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．　 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． 课 时 精 练 知识点二　等比数列前n项和的“片段和”性质 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　等比数列前n项和公式的函数特征 内 容 索 引 知识点一　等比数列前n项和公式的函数特征 索引 问题导思 等差数列前n项和公式是关于n的二次函数形式，可以利用二次函数的性质研究等差数列的前n项和的某些特性，那么等比数列前n项和公式是否具有函数特征呢？ 新知形成 等比数列前n项和公式的函数特征 A(qn－1) na1 等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数． 微提醒 例1 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n-1－2)＝2·3n-1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式． 法一：由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列． 法二：由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，2≠1，故{an}不是等比数列． 变式探究 1．(变条件、变设问)若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n+1－2k，则实数k＝________． 方法技巧 索引 即时练1.若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n-1＋t，则t＝________． 知识点二　等比数列前n项和的“片段和”性质 索引 问题导思 1．你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n? 提示：思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm. 2．类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？ 提示：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q＝1时，结论显然成立； 故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S2n－Sn＝qnSn， S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 3．类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 提示：若等比数列{an}共有2n项，则 其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即 若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1， 从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有 S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶． 新知形成 1．“片段和”性质 (1)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋_______(n，m∈N＋). (2)若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和(n为偶数且q＝－1除外)，则Sn，S2n－Sn，____________，…仍构成等比数列． 2．等比数列前n项和的“奇偶项”性质 若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则 qnSm S3n－S2n q (1)“片段和”性质成立的条件：Sn≠0. 微提醒 例2 √ (2)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则该数列的通项公式为________________． 设数列{an}的公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶， 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 1．若等比数列{an}共有2n项，要抓住 ＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方