第一章 3.2 第1课时 等比数列的前n项和-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 　 第 一 章 §3　等比数列 学习目标 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．　 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． 课 时 精 练 知识点二　等比数列前n项和的实际应用 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　等比数列前n项和公式的基本运算 内 容 索 引 知识点一　等比数列前n项和公式的基本运算 索引 问题导思 1．已知等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，若q＝1时，Sn与a1有何关系？ 提示：当q＝1时，等比数列为常数列，Sn＝na1. 2．在上述问题中，若q≠1时，如何求该等比数列的前n项的和？ 提示：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-2＋a1qn-1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得 qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn-1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)， 新知形成 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 求和 公式 Sn＝ Sn＝ (1)等比数列前n项和公式及通项公式中共有五个量a1，q，an，n，Sn，这五个量可“知三求二”． (2)利用等比数列的前n项和公式求和时，要特别注意公比q的取值，应分q＝1和q≠1两种情况，如果其中含有参数不能确定时，必须进行分类讨论． 微提醒 例1 求下列等比数列前8项的和： 求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立． 方法技巧 即时练1.正项等比数列{an}满足a1＝2，a5－a3＝24，则{an}的前7项和S7＝ A．256 B．254 C．252 D．126 √ √ √ 索引 知识点二　等比数列前n项和的实际应用 索引 例2 一个热气球在第一分钟上升了30 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的60%，求该热气球在前n(n∈N*)分钟里上升的总高度，并判断这个热气球上升的高度是否能超过75 m，请说明理由． 故这个热气球上升的高度不可能超过75 m． 解答数列实际应用问题的方法 1．判断、建立数列模型 (1)变化“量”是同一个常数：等差数列； (2)变化“率”是同一个常数：等比数列． 2．提取基本量 从条件中提取相应数列的基本量a1，q(d)，n，an，Sn，列出方程(组)求解．　　 方法技巧 即时练3.(2023·陕西榆林期中)《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍．请问第几天，莞的长度是蒲的长度的2倍 A．4天 B．5天 C．6天 D．7天 √ 索引 综　合　应　用 索引 例3 等比数列前n项和公式与通项公式的综合应用 在①a1＝1，②a2＋a4＝10，③数列(Sn＋a1)为等比数列这三个条件中选出两个，补充在下面的横线上，并解答后面的问题． 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，________． (1)求数列{an}的通项公式； 选条件①②： 设数列{an}的公比为q，则a2＋a4＝q＋q3＝q(1＋q2)＝10，所以q＝2， 所以an＝a1×qn-1＝2n-1. 选条件①③： 设数列{an}的公比为q，因为a1＝1，数列(Sn＋a1)为等比数列， 所以(S2＋a1)2＝(S1＋a1)·(S3＋a1)，得(2a1＋a2)2＝2a1·(2a1＋a2＋a3)， 化简可得(2＋q)2＝2(2＋q＋q2)，得q＝2.所以an＝a1×qn-1＝2n-1. 选条件②③： 设数列{an}的公比为q，因为数列(Sn＋a1)为等比数列， 因为a2＋a4＝a1q＋a1q3＝2a1＋8a1＝10，所以a1＝1，所以an＝a1×qn-1＝2n-1. (2)若{Sn}的前n项和为Tn，且Tm＝26，求m的值． 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解． 方法技巧 即时练4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1(n∈N*)． (1)证明：数列{an}是等比数列； 由an＋Sn＝1(n∈N*)①，得an＋1＋Sn＋1＝1②， 索引 索引 1．等比数列{an}的首项a1＝1，公比q＝2，则S6等于 A．－63 B．31 C．－31 D．63 √ 2．在等比数列{an