第一章 3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

3.1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　等比数列的概念与通项公式 　 第 一 章 §3　等比数列 学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并掌握等比数列的判定方法．　 2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．　 3.能解决与等比数列的通项公式有关的问题．　 课 时 精 练 知识点二　等比数列的通项公式 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　等比数列的概念 内 容 索 引 知识点一　等比数列的概念 索引 问题导思 1．观察下面两个数列： (2)1，2，4，8，16，…. 上面两组数列是等差数列吗？如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？ 提示：都不是等差数列，不符合等差数列的定义；从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数． 2．类比等差数列的概念，你能得出等比数列的概念吗？ 提示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列． 新知形成 等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是___________，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的______，通常用字母___表示(q≠0). 同一个常数 公比 q (1)等比数列定义的符号语言： ＝q(q为常数且q≠0，n∈N＋). (2)定义中“比值是同一个常数”，不能理解成“比值是一个常数”． (3)公比可以是正数，也可以是负数，但是不能为0. 微提醒 例1 以下数列中，哪些是等比数列？ (1)1，3，32，33，…，3n-1，… 记数列为{an}，则a1＝1，a2＝3，…，an＝3n-1，…. (2)－1，1，2，4，8，… 根据等比数列的定义，是公比为 的等比数列． (4)a，－a，a，－a，… 当a＝0时，数列为0，0，0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a，－a，a，－a，…是等比数列，且公比为－1. 等比数列定义的理解 1．由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．　　 2．要判定一个数列是否为等比数列，只需看 的值是否为不为零的同一个常数，要注意分子、分母次序不能颠倒．　　 方法技巧 即时练1.下列三个数依次成等比数列的是 A．1，4，8 B．－1，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8 √ √ 索引 知识点二　等比数列的通项公式 索引 问题导思 类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 当n＝1时，上式也成立． 法二：(迭代法)a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝ a1q3，…， 由此可得an＝a1qn-1，当n＝1时，上式也成立． 新知形成 等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝________(a1≠0，q≠0). a1qn-1 (1)用函数的观点看等比数列的通项：等比数列{an}的图象是函数y＝ qx的图象上的一群孤立的点． (2)等比数列通项公式的变形：an＝amqn－m(m，n∈N＋). 微提醒 例2 (1) (2023·广东揭阳高二期末)等比数列{an}中，a1＝1，a4＝8，则数列{an}的公比为________． 2 设等比数列{an}的公比为q，则q≠0， 1．等比数列通项公式的两种求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． 2．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个．　　 方法技巧 即时练3.在等比数列{an}中，公比为q. (2)若a1＝－5，a4＝40，求q并写出通项公式an； 由题知，a4＝a1q3＝－5q3＝40，解得q＝－2，所以an＝a1qn-1＝－5×(－2)n-1. 所以n－1＝4，所以n＝5. 索引 综　合　应　用 索引 例3 等比数列通项公式的应用 在各项均为负数的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a3·a5＝ . (1)求数列{an}的通项公式； (2)－ 是否为该数列的项？若是，为第几项？ 等比数列的通项公式中要注意公比有可能是正数、负数；尤其是开偶次方根时，应该有两个值；三个数成等比数列时，通常设为 ，a，aq；四个数成等比数列时，通常设为a，aq，aq2，aq3.　　 方法技巧 即时练4.若－1，2，a，b成等比数列，则a＋b＝_____. 4 即时练5.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数