第一章 2.2 第2课时 等差数列的前n项和的性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

2.2　等差数列的前n项和 第2课时　等差数列的前n项和的性质 　 第 一 章 §2　等差数列 学习目标 1.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算．　 2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值． 课 时 精 练 知识点二　等差数列前n项和的函数性质与最值 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　等差数列的前n项和的性质 内 容 索 引 知识点一　等差数列的前n项和的性质 索引 问题导思 1．等差数列{an}中，你能发现其前n项和Sn、前2n项和S2n与前3n项和S3n有何关系吗？ 提示：S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列． 2．公差为d，项数为2n项的等差数列{an}中，各项和S2n、奇数项之和S奇与偶数项之和S偶分别如何表示？若项数为(2n＋1)项呢？ (2)若数列共有(2n＋1)项，则 新知形成 等差数列{an}的前n项和Sn的性质 例1-1 在项数为2n＋1的等差数列{an}中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于 A．9 B．10 C．11 D．12 √ 例1-2 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，试求S110. 法一：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列， 法三：设等差数列{an}的公差为d， S110＝a1＋a2＋…＋a10＋a11＋a12＋…＋a110 ＝(a1＋a2＋…＋a10)＋[(a1＋10d)＋(a2＋10d)＋…＋(a100＋10d)]＝S10＋S100＋100×10d， 利用等差数列前n项和的性质简化计算 1．在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些． 2．等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果． 3．设而不求，整体代换也是很方便的解题方法．　　 方法技巧 即时练1.已知等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为 A．30 B．29 C．28 D．27 √ 所以an＋1＝290－261＝29.故选B. 索引 √ 知识点二　等差数列前n项和的函数性质与最值 索引 问题导思 新知形成 等差数列前n项和的函数性质与最值 最小 最大 最大 最小 (1)当a1>0，d>0时，Sn有最小值S1；当a1<0，d<0时，Sn有最大值S1. (2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一． 微提醒 例2 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S9＝－a5. (1)若a3＝4，求数列{an}的通项公式； 即等差数列{an}的通项公式为an＝－2n＋10. (2)若a1>0，求当Sn取得最大值时n的值． 又n∈N*，则n＝4或n＝5， 所以当Sn取得最大值时n的值为4或5. 求等差数列前n项和的最值的方法 1．二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 方法技巧 即时练3.(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d>0，若S9＝S20，则下列结论中正确的有 A．a15＝0 B．当n＝15时，Sn取得最小值 C．a10＋a22>0 D．当Sn>0时，n的最小值为29 √ √ √ 即时练4.(2023·江苏盐城期中)有下列3个条件： ①a3＋a8＝－2；②S7＝－28；③(a4)2＝a2a5.从中任选1个，补充到下面的问题中并解答： 问题：设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝Sn＋an＋2(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； 因为Sn＋1＝Sn＋an＋2，所以an＋1－an＝2，即{an}是公差为2的等差数列， 选择条件①：因为a3＋a8＝－2， 所以2a1＋9d＝－2，则2a1＋9×2＝－2， 解得a1＝－10，所以an＝2n－12. 选择条件②：因为S7＝－28， 所以an＝2n－12. 选择条件③：因为(a4)2＝a2a5，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，解得a1＝－10， 所以an＝2n－12. 索引 (2)求Sn的最小值并指明相应的n的值． 所以当n＝5或6时，Sn取到最小值，即(Sn)min＝－30. 综　合　应　用 索引 例3 数列{|an|}的前n项和 (2