第一章 2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 　 第 一 章 §2　等差数列 学习目标 1.探求并掌握等差数列前n项和公式．　 2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够“知三求二”．　 3.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．　 4.能在具体问题情境中发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 课 时 精 练 知识点二　sn与an的关系 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　等差数列的前n项和公式 内 容 索 引 知识点一　等差数列的前n项和公式 索引 问题导思 提示：倒序相加法 2．对于一般的等差数列，如何利用倒序相加法求它的前n项和？其理论依据是什么？ 提示：倒序相加法 新知形成 等差数列前n项和公式 (1)第一个公式反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和． (2)由第二个公式知，当d＝0时，Sn＝na1；当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”． (3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数． 微提醒 例1 在等差数列{an}中． (1)已知a3＝16，S20＝20，求S10； 设等差数列{an}的公差为d， 整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)， 因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，所以4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30. (3)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求项数n. 等差数列中的基本计算 1．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量Sn，n，a1，an，d，这五个量可以“知三求二”． 2．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题． 3．等差数列前n项和Sn＝ 与等差数列性质“若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N＋，则am＋an＝ap＋aq”经常结合起来使用，使这类问题的解决更具灵活性． 4．解题时注意整体代换的思想．　　 方法技巧 即时练1.已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，若S1＝S25，a3＋a8＝32，则S16＝ A.80 B．160 C.176 D．198 √ 索引 即时练2.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S5＝5，a6＝10，则 设等差数列{an}的公差为d， √ √ 知识点二　Sn与an的关系 索引 问题导思 1．等差数列(公差不为0)的前n项和Sn能写成关于n的二次函数吗？ 2．数列{an}的前n项和为Sn，那么Sn与Sn－1(n≥2)有何关系呢？ 提示：an＝Sn－Sn－1(n≥2). 新知形成 数列中an与Sn的关系 (1)上述关系对任何数列都适用． (2)若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示． 若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式不适合n＝1的情况，则数列的通项公式采用分段形式． 微提醒 例2 设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n＋5，求数列{an}的通项公式．并判断数列{an}是否是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由． 由Sn＝n2＋n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝7； 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列． 变式探究 (变条件)把上述数列{an}的前n项和变为Sn＝n2＋ n，求数列的通项公式．并判断数列是否为等差数列；如果是，它的首项与公差分别是什么？若不是，请说明理由． ②当n≥2，n∈N*时，由an＝Sn－Sn－1得 在等差数列{an}中，若d≠0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}一定是等差数列．　　 方法技巧 即时练4.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n. (1)求数列{an}的通项公式； 当n＝1时，a1＝S1＝3， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋2n)－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1， 易知a1＝3符合上式． 综上，an＝2n＋1. 索引 综　合　应　用 索引 例3 一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔10 min发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息．