专题1.2 解直角三角形【十大题型】-2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（北师大版）

专题1.2 解直角三角形【十大题型】 【北师大版】 【题型1 直角三角形中直接解直角三角形】 1 【题型2 构造直角三角形解直角三角形】 2 【题型3 网格中解直角三角形】 3 【题型4 坐标系中解直角三角形】 5 【题型5 四边形中解直角三角形】 6 【题型6 利用解直角三角形求不规则图形的面积】 7 【题型7 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】 8 【题型8 解直角三角形的应用之俯角仰角问题】 10 【题型9 解直角三角形的应用之方向角问题】 12 【题型10 解直角三角形的应用之实物建模问题】 13 【知识点 解直角三角形】 已知条件 图形 解法 已知一直角边和一个锐角对边 邻边 斜边 A C B b 已知斜边和一个锐角 已知两直角边 已知斜边和一条直角边 【题型1 直角三角形中直接解直角三角形】 【例1】（2023秋·上海青浦·九年级校考期中）如果是的斜边上的高，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023秋·陕西西安·九年级校考期中）如图，在中，，是边上一点，过点作，垂足为，，，，求的长．    【变式1-2】（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，在中，，．D为线段上的动点．    (1)若D运动到某个位置时，，米，求的长度． (2)若点D运动到某个位置时，，米．求的长度．（结果可保留根号） 【变式1-3】（2023秋·广西梧州·九年级统考期末）如图，在中，，，，D为线段上一点，并且，求及的值．    【题型2 构造直角三角形解直角三角形】 【例2】（2023秋·广西梧州·九年级统考期末）已知在中，， ，，则的长（   ） A．7 B．8 C．8或17 D．7或17 【变式2-1】（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）如图，已知将沿角平分线所在直线翻折，点恰好落在边的中点处，且，那么的余弦值为 .    【变式2-2】（2023·江苏·统考中考真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．    【变式2-3】（2023秋·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）如图，中，，，于点D，将绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与相等，如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位置，那么的正切值是 ．    【题型3 网格中解直角三角形】 【例3】（2023·湖北武汉·统考三模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，两个点是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图中，点是格点，先画线段的中点，再在上画点，使；    (2)在图中，点在格线上，过点作的平行线；    (3)在图中，点在格线上，在上画点，使．    【变式3-1】（2023秋·江苏苏州·九年级统考期中）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为 ． 【变式3-2】（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，交于点O，则的值为 ． 【变式3-3】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．    (1)在图（1）中，，分别是边，与网格线的交点．先将点绕点旋转得到点，画出点；再在边上画点，使； (2)在图（2）中，在边上找一点，使；再在线段上找一点，使 【题型4 坐标系中解直角三角形】 【例4】（2023·河南洛阳·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在坐标原点，，顶点C的坐标为，的图象与菱形对角线交于点D，连接，当轴时，k的值是（　　）    A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·广东湛江·岭师附中校联考一模）如图，在中，，，，把绕点O顺时针旋转后，得到，则点的坐标为 ．    【变式4-2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）如图：已知一次函数图像与x轴、y轴分别交于点A、点B．，．    (1)求直线的解析式； (2)若点C在x轴上方的直线上，的面积为15，求． 【变式4-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，．    (1)如图1，求的值； (2)如图2，点在上，点在上，连接、，且，过点作的垂线，垂足为点，设点的横坐标为，，线段的长为，求与之间的函数关系式； (3)如图3，在（2