专题5.5 三角恒等变换【七大题型】-2023-2024学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题5.5 三角恒等变换【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 两角和与差的三角函数公式的应用】 2 【题型2 利用和（差）角公式求三角函数式的值】 3 【题型3 利用和（差）角公式化简三角函数式】 3 【题型4 利用和（差）角公式证明三角恒等式】 4 【题型5 辅助角公式的应用】 5 【题型6 利用二倍角公式化简】 7 【题型7 利用二倍角公式求值】 8 【知识点1 两角和与差的三角函数公式】 1．两角差的余弦公式 对于任意角，有. 此公式给出了任意角,的正弦、余弦与其差角-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 (1)公式的结构特征 (2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”. 3．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”,两角差时用“-”. 4．两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 5．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式 (1)角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用 尤为突出. 常用的角的代换形式： ①=(+)-； ②=-(-)； ③=[(+)+(-)]； ④= [(+)-(-)]； ⑤=(-)-(-)； ⑥-=(-)+(-). (2)常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其 中要特别注意的是“1”的代换. (3)辅助角公式 通过应用公式[或将形如 (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个 三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【题型1 两角和与差的三角函数公式的应用】 【例1】（2023秋·全国·高一专题练习）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023秋·四川宜宾·高三校考阶段练习）已知角的终边过点.则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知角，且，则（    ） A． B． C． D．2 【题型2 利用和（差）角公式求三角函数式的值】 【例2】（2023春·江苏南通·高一统考期中）求的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023春·四川成都·高一统考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023秋·四川·高三校联考阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用和（差）角公式化简三角函数式】 【例3】（2023春·甘肃兰州·高一校考期末）化简： (1)； (2)． 【变式3-1】（2023秋·高一课时练习）化简求值： (1)； (2). 【变式3-2】（2023·全国·高二专题练习）化简求值： (1)； (2). 【变式3-3】（2023·全国·高一随堂练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4). 【题型4 利用和（差）角公式证明三角恒等式】 【例4】（2023·全国·高一课堂例题）求证：. 【变式4-1】（2023·全国·高一课堂例题）求证： (1)； (2)． 【变式4-2】（2023·全国·高一随堂练习）已知，，求证： (1)； (2). 【变式4-3】（2023·全国·高一随堂练习）已知函数，求证： (1)； (2). 【题型5 辅助角公式的应用】 【例5】（2023秋·天津和平·高三校考阶段练习）已知函数 (1)求的最小正周期及单调递减区间： (2)若，求的值. 【变式5-1】（2023秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知. (1)求的周期及单调递增区间； (2)求函数在上的最大值和最小