3.3 对勾函数的图象与性质课件（探究与发现）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数的概念与性质 探究与发现 探究函数图象与性质 在初中，我们知道是正比例函数， 是反比例函数.学习了幂函数以后，我们知道它们都是幂函数.不同的函数通过加、减、乘、除等运算可以构成新的函数.那么，将这两个函数相加构成的函数有哪些性质？这些性质与这两个函数的性质有联系吗？ 下面请同学们带着问题探究一下函数 . 1、你认为可以从哪些方面研究这个函数？ 定义域、值域、单调性，最值、奇偶性、图象等 2、你认为可以按照怎样的路径研究这个函数？ ①从函数解析式出发， 分析出函数的定义域 ②由函数和都为奇函数，先猜想函数为奇函数，然后利用定义证明 ③结合定义域和奇偶性，通过描点法画出函数的草图 ④通过图象猜想出函数的单调性，并利用定义法证明单调性 ⑤猜想函数的值域和观察函数最值情况 3、按照你构建的路径研究你想到的问题. ①函数的定义域为 ②函数为奇函数， ，所以函数为奇函数 ③ ④函数在区间和上单调递增，在区间和上单调递减，用定义法证明函数单调性如下 且，有：( 由，得，所以又，所以，所以即所以函数在区间上单调递增.其余单调性证明同理. ⑤函数的值域为，无最大值、最小值 4、证明：当时，，当且仅当，即1时取得等号；当时，，当且仅当，即1时取得等号. 提示：利用基本不等式证明（一正二定三相等） 5、你画出得图象与右图类似吗？ 6、函数的图象有什么变化趋势？你能利用函数和的图象变化趋势说明函数的图象变化趋势吗？ 在第一象限，函数的图象在和图象的上方，当时，0，函数 中，起主导作用，图象无限接近直线；当时，，函数中， 起主导作用，图象无限接近y轴. 7、通过对函数的图象与性质的探究，你有哪些体会？ 在探究过程中，很好地借助了原来两个函数和解析式以及图象的特征. 要研究一个新的函数，通常转化到已经学过的函数上来，体现了把未知转化为已知的化归思想.回顾探究过程，先从解析式出发，研究了函数的定义域和奇偶性，再结合定义域和奇偶性去画函数的图象，在图象画出来后，我们借助函数的图象猜想出函数的单调性、值域和最值，根据基本不等式或者单调性定义给出了严谨的证明.在这个过程中，充分体现了数形结合的思想方法. 知识引申 对勾函数（双勾函数、飘带函数）的图象与性质 解析式： 图象： 图1 图2 图象： 渐进线： 定义域： 图3 图4 值域： 值域：R 单调性：在(上单调递增，在()和()上单调递减（图1） 在()和()上单调递增，在(上单调递减（图2） 在()和()上单调递增，无单调递减区间（图3） 无单调递增区间，在()和()上单调递减（图4） 奇偶性：均为奇函数 $$