专题三 分式方程的解法及分式方程中的新定义-2023-2024学年八年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

八年级数学上分层优化堂堂清 十五章 分式 专题三 分式方程的解法及分式方程中的新定义 一、分式方程的解法探究 类型一 常规型 解分式方程的一般方法和步骤： ①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程； ②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等； ③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解． 简称为一化，二解，三检验． 【例1-1】、解方程： （1）； （2）． 总结：（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 【例1-2】、解方程 (1)； (2)． 类型二 换元法 换元法计算引进一种新变量，把一个较复杂的数量关系转化为较简单的数量关系的解题技巧，关键是要找出式子中的共同特征，这个共同特征能用新变量表示。 【例2-1】、用换元法解分式方程1＝0，如果设y，那么原方程化为关于y的整式方程是（　　） A．3y2+3y﹣1＝0 B．3y2﹣3y﹣1＝0 C．3y2﹣y+1＝0 D．3y2﹣y﹣1＝0 【例2-2】、阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0， 解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1， 当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程中，设，则原方程可化为： ； （2）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　； （3）模仿上述换元法解方程：． 总结：换元法解分式方程： 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 【例2-3】解下列关于x的分式方程组： 【例2-4】x为实数，，那么x2+3x的值为（　　） A．1 B．﹣4或1 C．﹣4 D．4或﹣1 类型三 局部通分法 方程两边各有两个分式，分式的分母与分母（分子与分子）相差相同的值，可以用局部通分法 【例3-1】解下列关于x的分式方程： 【例3-2】解方程 -=- 【例3-3】分式方程的解为__________． 【例3-4】解方程：． 类型四 分离常数项 方程的每一个分式的分子与分母相差相同的值，根据这一特点，把分子分成两项，一项与分母相同，分别与分母相除，消去分子中的未知数达到化简的目的。 【例4-1】解下列关于x的分式方程： 【例4-2】解方程 -=- 类型五 裂项法 当方程中分式满足=-时，利用该性质裂项将分式化简。 【5-1】解下列关于x的分式方程： ． 【5-2】解下列关于x的分式方程： 【5-3】解方程 【5-4】解分式方程： 类型六 倒数法 1.根据方程特征，求原方程的解比较困难时，转化成原方程两边的分式的倒数求解。 2.根据方程特征，将原方程转化为相互倒数的分式求解. 【6-1】解下列关于x的分式方程： 【6-2】观察下列方程及其解的特征： （1）x2的解为x1＝x2＝1； （2）x的解为x1＝2，x2； （3）x的解为x1＝3，x2 … 解答下列问题： （1）请猜想：方程x的解为　 　； （2）请猜想：关于x的方程x　 　的解为x1＝a，x2； （3）请猜想：x﹣1的解为　 　． 【6-3】阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为（a+b），所以关于x的方程xa+b的解为x1＝a，x2＝b． （1）【理解应用】解方程； （2）【知识迁移】若关于x的方程x7的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值． 2、 分式方程中的新定义 新定义型问题解题技巧 1. 审题；搞清定义的内容是什么 2. 根据新定义给出合理的解释 3. 计算过程注意限制条