第十五章 分式 章末小结-2023-2024学年八年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

八年级数学上分层优化堂堂清 十五章 分式小结 考点一 分式有关概念 1.分式的定义 分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式． 分式中，A叫做分子，B叫做分母． 注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。②整式B作为分母，则整式B0. ③只要最终能转化为形式即可.④B中若无字母，则变成系数乘A，为整式. 2.分式的相关概念 1）分式有意义的条件：分母不为0，即B0 2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B0 3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0 4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0 【例1-1】、若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【例1-2】、若分式的值为0，则x的值为(    ) A． B． C． D． 考点二 分式的基本性质 1）分数的性质（特点）如下： ①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）. 2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）： ①分式分母也不能为零 ②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即： 用式子表示为或，其中A，B，C均为整式． ③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解. 3.）分式的约分与通分 1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）. 注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。 2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。 步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数. 4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 【例2-1】、下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】、下列变形中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【例2-3】、当，时，若、都扩大为原来的10倍，则分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．扩大到原来的10倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的100倍 【例2-4】、下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【例2-5】、分式，，的最简公分母是_______． 考点三 分式的运算 分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似： 1）分式的加减 ①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：． ②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用式子表示为：． 2）分式的乘法 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：． 3）分式的除法 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 用式子表示为：． 4）分式的乘方 乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，． 5）、整数指数幂（幂的运算的扩大） 1）前面已学习： ①，（m，n是正整数）； ②，（m，n是正整数） ③，（m是正整数）； ④，（a≠0，m、n是正整数，m>n） ⑤，（n是正整数）； ⑥ 若按照④运算，当m<n时。如：；根据指数幂的定义 2）针对这种现象，我们规定，当n为正整数时，（a≠0） 注：无意义 3）幂的运算性质扩大 当a≠0时 ①，（m，n是整数）（公式1、4的扩展） ②，（m，n是整数）（公式2的扩展） ③，（m是正整数）（公式3与公式5的扩展） 4）利用负指数化除为乘，设m，n为正整数，a≠0， 根据定义 还可转化为乘法： 6）科学记数法的扩大 一般，一个小于1的数可以表示为a×的形式，其中 步骤：确定a值的大小。；确定n的值。原数变为a后，小数点向前移动x位，则原数相应扩大了10x倍。故n=-x 【例3-1】、计算： （1）； （2）； （3）•÷； （4）． 【例3-2】、化简÷的结果是（　　） A． B． C． D． 【例3-3】、下面是小林同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ＝第一步 ＝第二步 ＝第三步 ＝第四步 ＝第五步 ＝第六步 任务一：填空①从上面的化简步骤，第 　三　步是进行分式的通分，通分的依据是 　． ②第 　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是