4.4.3 不同函数增长的差异（教学设计）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

教学单元 第四章 指数函数与对数函数 教学内容 4.4.3 不同函数增长的差异 教学目标 学习目标 1.了解指数函数、对数函数、线性函数 (一次函数) 的增长差异. 2.理解对数增长、直线上升、指数爆炸。 3.了解函数的建模过程。 核心素养 1、经过探究对函数的图像观察，理解对数增长、直线上升、指数爆炸。培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力； 2、在认识函数增长差异的过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学应用的意识，探索数学。 教学重难点 重点：函数增长快慢比较的常用方法； 难点：了解影响函数增长快慢的因素； 学情分析 本节内容是在学习了指数函数、对数函数和幂函数之后的对函数学习的一次梳理和总结。本节提出函数增长快慢的问题，通过函数图像及三个函数的性质，完成函数增长快慢的认识。既是对三种函数学习的总结，也为后续导数的学习做了铺垫。培养和发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 情境导入 我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数中，哪些函数在定义域上是增函数？ 在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律.下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.  回顾一次函数、二次函数、反比例函数、指数、对数和幂函数 温故知新，通过对一次函数、二次函数、反比例函数、指数、对数和幂函数问题的回顾，提出新的问题，提出研究函数增长差异的问题及研究方法。培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养。 新知讲授 【知识一：指数函数与一次函数增长的差异】 探究1：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下指数函数的特点吗？ 不妨以函数和为例. 利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一个直角坐标系中画出它们的图象. 可以看到，函数和的图象 有两个交点. 在区间上，函数的图象位于的图象之上，；在区间上，函数的图象位于的图象之下，；在区间上，函数的图象位于的图象之上，这表明，虽然这两个函数在上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数的增长速度保持不变，而函数的增长速度在变化. 下面在更大的范围内，观察和的增长情况.从表中可以看到，当自变量越来越大时，的图象就像与轴垂直一样，的值快速增长；而函数的增长速度依然保持不变，与函数的增长速度相比几乎微不足道 综上所述，虽然函数和在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度.尽管在的一定变化范围内，会小于，但由于的增长最终会快于的增长，因此，总会存在一个当时，恒有. 一般地，指数函数与一次函数的增长差异都与上述情况类似.即使的值远远大于的值，的增长速度最终都会大大超过的增长速度. 通过画出特殊的指数函数和一次函数的图形，观察归纳出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养； 总结：指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长. 【知识二：对数函数与一次函数增长的差异】 探究2：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下对数函数的特点吗？ 不妨以函数和为例. 为了更好地研究它们的增长差异，我们利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一个直角坐标系中画出它们的图象. 思考：如果将放大1000倍，再对函数和的增长情况进行比较，那么仍有上述规律吗？ 因为函数值较大不便于手动画图，我们利用信息技术在同一个直角坐标系中画出它们的图象并研究其增长情况. 可以看到，虽然它们在上都单调递增，但增长速度存在明显的差异. 函数的增长速度保持不变，而函数的增长速度在变化.随着的最大，函数的图象离轴越来越远，而函数的图象越来越平缓，就像与轴平行一样. 例如而这说明，当，即时，与相比增长就很慢了. 一般地，虽然对数函数与一次函数在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢.不论的值比的值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长最终会慢于的增长，因此总会存在一个，当时，恒有. 通过画出特殊的对数函数和一次函数的图形，观察归纳出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养； 课本练习 1. 三个变量