第三章 函数的概念和性质（章末复习）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

函数的概念与性质 章末复习 第三章 函数的概念与性质 本章知识结构 知识梳理 1.函数的概念： 概念 一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数 三要素 对应关系 定义域 的取值范围 值域 与对应的的值的集合 知识梳理 2.同一个函数： (1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. (2)结论：这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法：解析法、图象法和列表法. 4.分段函数： (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 知识梳理 5.函数的单调性： (1)单调函数的定义：   增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，区间，如果 当时，都有,那么就称函数在区间上单调递增，特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数 当时,都有,那么就称函数在区间上单调递减，特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数 图象 知识梳理 (2)单调区间的定义： 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间. 6.函数的最值： 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 (1)，都有； (2)，使得 (1),都有； (2),使得 结论 为最大值 为最小值 知识梳理 7.函数的奇偶性： 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有－，且，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有－，且，那么函数就叫做奇函数 关于原点 对称 知识梳理 8.幂函数： (1)幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. (2)常见的五种幂函数的图象： 知识梳理 9.幂函数的性质 ①幂函数在上都有定义； ②当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增； ③当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减. 10.对勾函数： (1)性质 ①奇偶性：奇函数； ②单调性： 单增区间：，； 单减区间：，. ③渐近线：y＝ax和x＝0. 知识梳理 9.幂函数的性质 ①幂函数在上都有定义； ②当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增； ③当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减. 10.对勾函数： (1)性质 ①奇偶性：奇函数； ②单调性：单增区间：，；单减区间：，. ③渐近线：和 (2)图象： 知识梳理 11 知识梳理 11.常用结论： (1)直线(是常数)与函数的图象至多有1个交点. (2)注意以下几种特殊函数的定义域： ①分式型函数，分母不为零的实数集合. ②偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合. ③为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. ④若，则定义域为. (3)有关单调性，在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数. 知识梳理 11.常用结论： (4)函数在公共定义域内与的单调性相反. (5)①若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称. ②若函数是奇函数，则函数的图象关于点中心对称. 练习 题型一：求函数解析式 例1.分别求满足下列条件的的解析式： (1)已知，求； (2)已知函数是一次函数，若，求； (3)已知，求. 答案：(1)；[配凑法或换元法] (2)或；[待定系数法法] (3).[配凑法或换元法] 练习 方法技巧： 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便得的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. (3)换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于与或等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出. 练习 变1.(1)已知是一次函数，且满足，求的解析式； (2)已知函数满足，求的解析式； (3)已知，求的解析式． 答案：(1)；[待定系数法] (2)；[方程组法] (3).[配凑法] 练习 题型二：分段函数 例2.已知，若，则的取值范围为（　）. A． B． C． D． 答案：C. 练习 方法技巧： 1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解. 2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范