第1章 空间向量与立体几何-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

2023版·数学选择性必修第一册 第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 大小 方向 大小 有向线段 长度为0 模为1 相等 相反 －a 相同 相等 同向 等长 0∥a a＝λb 向量a平行的非零向量 平行 重合 平行 p＝xa＋yb 课下培优巩固练(一) 课程标准 核心素养 1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念． 2．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程． 3．掌握空间向量的线性运算． 4．掌握空间向量的数量积． 5．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义． 1．数学抽象：(1)了解空间向量的概念，掌握线性运算的技巧． (2)理解向量共线、共面的概念． (3)掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律． 2．逻辑推理：(1)会判定与证明向量共线、共面． (2)能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题． 3．数学运算：掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及运算律． 2．特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定_________的向量叫零向量，记为0 单位向量 _______的向量叫单位向量 相反向量 与向量a长度______而方向______的向量，叫做a的相反向量，记为_____ 相等向量 方向______且模______的向量叫做相等向量．在空间，______且______的有向线段表示同一向量或相等向量 二、空间向量的线性运算 1．线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 解析：对于①，向量a，b平行，a，b所在的直线平行或重合，故①错误；对于②，|a|＝|b|，只能说明两向量的模相等，但方向不一定相同，所以不能得到两向量相等，故②错误；对于③，可得|a|＝|b|，a，b的方向相同或相反，故③错误；对于⑤，空间中两个向量相等，只需方向相同和模相等，与起点位置无关，故⑤错误．只有④正确． 答案：A 解析：若a＝b，则a和b的大小相等，方向相同，故A正确； 将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球面，故B错误； 若a＝－b，b＝－c，则a＝－＝c，故C正确； 若a与b共线，b与c共线，则当b＝0时，无法判断a与c是否共线，故D错误． 答案：AC 突破点三　向量共线问题 角度1　向量共线的证明与判断 [例3]如图，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线． 解析：①为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量，的方向相同或相反，因此与是共线向量； ②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则，的方向不确定，不能判断与是否为共线向量； ③为假命题，因为，两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上； ④为真命题，因为，两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以三点共线． 解析：若＝，则AB＝DC，且AB∥DC，所以四边形ABCD为平行四边形， 又||＝||，即AC＝BD.所以四边形ABCD为矩形． 答案：B $$ 2023版·数学选择性必修第一册 第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.2 空间向量的数量积运算 ∠AOB 〈a，b〉 [0，π] |a||b|cos 〈a，b〉 |a||b|cos 〈a，b〉 0 a·b＝0 课下培优巩固练(二) 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 eq \o(OA,\s\up13(→))＝a， eq \o(OB,\s\up13(→))＝b，则__________叫做向量a，b的夹角，记作__________ 范围 ________ 向量垂直 如果〈a，b〉＝ eq \f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 二、空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则____________________叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝____________________． 规定：零向量与任何向量的数量积都为___ 性质 ①a⊥b⇔_________ ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律). ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律) 三、投影向量 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos 〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向