第3章 阶段总结(三) 圆锥曲线的方程-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

阶段总结(三)　圆锥曲线的方程 [高频考点聚焦·整合提升] 考点一　圆锥曲线定义的应用 研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题． [例1](1)已知F是双曲线－＝1的左焦点，点A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为(　　) A．9 B．5 C．8 D．4 解析：选A．设右焦点为F′，则F′(4，0)，依题意，有|PF|＝|PF′|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF′|＋|PA|＋4≥|AF′|＋4＝5＋4＝9. (2)若点M(1，2)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________． 解析：设点B为椭圆的左焦点，则B(－3，0)，点M(1，2)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a， 所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|， 而a＝4，|BM|＝＝2， 所以(|AM|＋|AC|)min＝8－2. 答案：8－2 【跟踪训练】 1.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选B．设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2，抛物线的准线方程为x＝－， ∴不妨设A(，2)，D(－，). ∵点A(，2)，D(－，)在圆x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去). ∴C的焦点到准线的距离为4. 2．在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L­距离”定义为||P1P2|＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L­距离”之和等于定值(大于||F1F2|)的点的轨迹可以是图中的(　　) 解析：选A．设F1(－c，0)，F2(c，0)，P(x，y)，则点P满足：||PF1|＋||PF2|＝2a(2a＞||F1F2|)，代入坐标，得|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a.当y＞0时，y＝当y≤0时，y＝结合选项可知A正确，故选A． 考点二　圆锥曲线性质的应用 圆锥曲线的性质综合性强，需弄清每个性质的真正内涵，然后正确地应用到解题中去． [例2](1)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析：选A．如图所示，由题意得A(－a，0)，B(a，0)，F(－c，0). 由PF⊥x轴得P(－c，). 设E(0，m)， 又PF∥OE，得＝，则|MF|＝.① 又由OE∥MF，得＝，则|MF|＝.② 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c， ∴e＝＝.故选A． (2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝，点A(0，1)与双曲线上的点的最小距离是，求双曲线方程． 解：∵e＝＝，∴＝，∴a2＝4b2，设双曲线－＝1上一点B(x，y)，则|AB|2＝x2＋(y－1)2＝4b2＋4y2＋(y－1)2＝5y2－2y＋4b2＋1＝5(y－)2＋4b2＋.当y＝时，|AB|取得最小值，为，即＝，∴b2＝1，双曲线方程为－y2＝1. 【跟踪训练】 3.设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点，若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　) A． B． C．2 D． 解析：选A．如图：以OF为直径的圆的方程为(x－)2＋y2＝，① 又x2＋y2＝a2，② ①－②得交线PQ的直线方程为：x＝， 代入②，得y＝±， 又|PQ|＝|OF|，则2＝c，∴a＝b，e＝，故选A． 考点三　直线与圆锥曲线的位置关系问题 1．直线与圆锥曲线位置关系的2种判定方法及2个关注点 (1)判定方法 ①代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． ②几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数． (2)关注点 ①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况． ②判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根． 2．处理中点弦问题常用的求解方法 [例3]　已知直线l：x＝my＋1(m≠0)恒过椭圆C：＋＝1