第2章 直线和圆的方程-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第二章　直线和圆的方程 2.1　直线的倾斜角与斜率 ► 对应学生用书P46 课程标准 核心素养 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 1．数学抽象：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念． 2．数学运算：会根据定义和公式求出直线的倾斜角与直线的斜率． 3．直观想象：能根据两点斜率关系结合图象探究斜率的范围问题． 4．逻辑推理：能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2.1.1 倾斜角与斜率 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、直线的倾斜角 1．直线的方向向量 设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量． 2．直线的倾斜角 (1)定义： (2)范围：直线的倾斜角α 的取值范围为[0，π)． 二、直线的斜率 1．定义 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α． 2．公式 条件 公式 直线的倾斜角为θ，且θ≠90° k＝tan θ 直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2 k＝ 直线的方向向量的坐标为(x，y)，且x≠0 k＝ 3.直线的斜率k和倾斜角α之间的关系 α 0 0＜α＜ ＜α＜π k 0 k＞0且随α增大而增大 不存在 k＜0且随α增大而增大 [提醒]所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角是90°的直线没有斜率． 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　直线的倾斜角 [例1](1)(2023·北京朝阳期中)已知A(1，a)，B(4，0)，其中a∈(－，3)，则直线AB的倾斜角的取值范围是(　　) A．[0，)∪(，π) B．(，)∪(，) C．(－，) D．(，) 解析：选A．由斜率公式得，当a＝－时，kAB＝，当a＝3时，kAB＝－1，所以斜率的取值范围是(－1，)，由正切函数的图象可知倾斜角的范围是[0，)∪(π，π).故选A． (2)(2022·山东济南济阳开学考试)设直线l的方程为x－y sin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是(　　) A．[0，π] B． C． D．[，)∪(，] 解析：选C．直线l的方程为x－y sin θ＋2＝0，所以直线的斜率k＝tan α＝， 所以tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故α∈.故选C． 【总结】 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：①结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． ②利用斜率k＝tan θ建立关系求解． (2)注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 【跟踪训练】 1.直线2x cos α－y－3＝0(α∈)的倾斜角的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选B．由α∈得≤cos α≤，所以k＝2cos α∈[1，]，设直线的倾斜角为θ，则tan θ ∈[1，](θ∈[0，π)]，所以θ∈.故选B． 2．平面上有相异两点A(cos θ，sin2θ)，B(0，1)，则直线AB的倾斜角α的取值范围是____________． 解析：由题意知cosθ≠0，则斜率k＝tan α＝＝－cos θ∈[－1，0)∪(0，1]，所以直线AB的倾斜角的取值范围是(0，]∪[，π). 答案：(0，]∪[，π) 突破点二　直线的斜率 [例2](1)(2023·北京西城模拟)如图所示，下列四条直线中，斜率最大的是(　　) A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 解析：选D．由图可知，直线l1，l4的倾斜角为锐角，且l4的倾斜角大于l1的倾斜角，则k>k>0，直线l2的倾斜角为0，斜率为0，直线l3的倾斜角为钝角，k<0，则斜率最大的是l4.故选D． (2)直线l经过点A(－m，6)，B(1，3m)，且直线l的斜率为12，则m＝(　　) A．－2 B．3 C．－5 D． 解析：选A．∵直线l经过点A(－m，6)，B(1，3m)，且直线l的斜率为＝12，则m＝－2，故选A． 【总结】　直线斜率的计算方法 (1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在． (2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝(其中x1≠x2)进行计算． [注意](1)若横坐标含有参数，一般按照“两个横坐标是否相等”对参数进行讨论． (2)斜率与直线倾斜程度的关系：若k>0，直线从左向右上升；若k<0，直线从左向右下降；若k＝0，直线与x轴平行或重合． 【跟踪训练】 3.在△ABC中，已知A(3，－2)，B(1，－3)，C(1，1). (1)求直线A