3.3.2 抛物线的简单几何性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

3.3.2　抛物线的简单几何性质 ► 对应学生用书P117 课程标准 核心素养 1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质． 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题． 3．掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识． 1．直观想象：根据抛物线的图象研究几何性质． 2．数学运算：结合几何性质求解抛物线的基本量． 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 性 质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 二、焦点弦 设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)为AB中点，则 y2＝2px(p＞0) |AB|＝x1＋x2＋p y2＝－2px(p＞0) |AB|＝p－(x1＋x2) x2＝2py(p＞0) |AB|＝y1＋y2＋p x2＝－2py(p＞0) |AB|＝p－(y1＋y2) [拓展延伸]①|AB|＝2(焦点弦长与中点关系). ②|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角). ③A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2. ④S△AOB＝. ⑤＋＝(定值). ⑥以AB为直径的圆与准线相切． 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　由抛物线的几何性质求标准方程 [例1] (1)平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2，1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________． 解析：线段OA的垂直平分线为4x＋2y－5＝0，与x轴的交点为(，0)， ∴抛物线的焦点为(，0)，∴其标准方程是y2＝5x. 答案：y2＝5x (2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 解：椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴， ∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x， 其准线方程分别为x＝－3和x＝3. 【总结】 用待定系数法求抛物线方程的步骤 [提醒]求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置．不同的焦点设出不同的方程． 【跟踪训练】 1.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线方程． 解：设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，点P(x0，y0). 因为点P到对称轴距离为6，所以y0＝±6， 因为点P到准线距离为10，所以＝10.① 因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0.② 由①②，得或或或 所以所求抛物线方程为y2＝±4x或y2＝±36x. 突破点二　抛物线性质的应用 [例2](1)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是________． 解析：如图，设A(x0，y0)， 过A作AH⊥x轴于H，在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1， 由∠AFO＝120°，得∠AFH＝60°，故y0＝|AH|＝(x0－1)， 所以A点的坐标为， 将点A坐标代入抛物线方程可得3x－10x0＋3＝0， 解得x0＝3或x0＝(舍)，故S△AKF＝×(3＋1)×2＝4. 答案：4 (2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长． 解：如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2. 又|OA|＝|OB|，所以x＋y＝x＋y， 即x－x＋2px1－2px2＝0， 整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. ∵x1＞0，x2＞0，2p＞0， ∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|， 即线段AB关于x轴对称． 由此得∠AOx＝30°，所以y1＝x1，与y＝2px1联立， 解得y1＝2p.∴|AB|＝2y1＝4p. 【总结】　利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点：解决焦点弦问题． [提醒]解答本题时易忽略A，B关于x轴对称而出错． 【跟踪