3.3.1 抛物线及其标准方程-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

3.3　抛物线 ► 对应学生用书P113 3.3.1　抛物线及其标准方程 课程标准 核心素养 1．理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程． 2．掌握抛物线的定义及其标准方程的应用． 1．数学抽象：理解抛物线的定义、标准方程的学习． 2．逻辑推理：理会抛物线标准方程的推导过程． 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、抛物线的定义 [提醒]抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线． 二、抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p＞0) x＝－ y2＝－2px(p＞0) x＝ x2＝2py(p＞0) y＝－ x2＝－2py(p＞0) y＝ 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　求抛物线的标准方程 [例1]求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点M(－6，6)； (2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上． [思路点拨] →→→ 解：(1)由于点M(－6，6)在第二象限， ∴过M的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x轴上， 设其方程为y2＝－2px(p＞0)， 将点M(－6，6)代入，可得36＝－2p×(－6)， ∴p＝3. ∴抛物线的方程为y2＝－6x. 若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)， 将点M(－6，6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3， ∴抛物线的方程为x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y. (2)①∵直线l与x轴的交点为(2，0)， ∴抛物线的焦点是F(2，0)， ∴＝2，∴p＝4， ∴抛物线的标准方程是y2＝8x. ②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F(0，－3)， ∴＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程是x2＝－12y. 综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y. 【总结】　利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤 (1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型； (2)求参数p的值； (3)确定抛物线的标准方程． [提醒]当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程. 【跟踪训练】 1.已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P(－5，2)到焦点的距离为6，求抛物线的标准方程． 解：设焦点F(a，0)，|PF|＝＝6， 即a2＋10a＋9＝0，解得a＝－1，或a＝－9. 当焦点为F(－1，0)时，p＝2， 抛物线的开口向左，其方程为y2＝－4x； 当焦点为F(－9，0)时，p＝18，抛物线开口向左，其方程为y2＝－36x. 突破点二　抛物线定义的应用 [例2]若位于y轴右侧的动点M到F(，0)的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程． [思路点拨]　把|MF|比M到y轴的距离大，转化为|MF|与点M到x＝－的距离相等，从而利用抛物线定义求解． 解：由于位于y轴右侧的动点M到F(，0)的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F(，0)的距离与它到直线l：x＝－的距离相等． 由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝， 所以p＝1，2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0). 【总结】　抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． 【母题探究】　1.(变条件、改变问法)若本例中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标． 解：设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2，即(x0－)2＋y＝4　①，又由例题的解析知点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)，故y＝2x0　②， 由①②可得或 故点N的坐标为(，)或(，－). 2．(变条件、改变问法)若本例中增加一点A(3，2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标． 解：如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|，所以当A、M、N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值， 最小值为3＋＝. 这时点M的纵坐标为2，可设M(x0，2)， 代入抛物线方程得x0＝2，即M(2，2). 【跟踪训练】 2.抛物线y2＝8x上的点(x0，