3.2.2 双曲线的简单几何性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

3.2.2　双曲线的简单几何性质 ► 对应学生用书P107 课程标准 核心素养 1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等). 2．理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程． 3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题． 1. 直观想象：结合双曲线图象探究双曲线几何性质． 2．数学运算：应用双曲线几何性质解决双曲线离心率、渐近线等相关问题． 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 性质 图形 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) 焦距 2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 二、等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率e＝． [拓展延伸]巧设双曲线的六种方法与技巧 (1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0). (2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0). (3)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2). (4)与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). (5)渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0). (6)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0). 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　由双曲线的标准方程求其简单的几何性质 [例1]求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． [思路点拨]要将双曲线方程化成标准方程，然后由各个所求量的定义作答． 解：将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1， ∴a＝3，b＝2，c＝， 因此顶点为A1(－3，0)，A2(3，0)， 焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4， 离心率e＝＝，渐近线方程y＝±x＝±x. 【总结】　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键； (2)由标准方程确定焦点位置，确定a、b的值； (3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质． 【跟踪训练】 1.(2022·山东枣庄一中月考)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　) A．实轴长为4，虚轴长为2 B．实轴长为8，虚轴长为4 C．实轴长为2，虚轴长为4 D．实轴长为4，虚轴长为8 解析：选B．双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4. 突破点二　由双曲线的几何性质确定标准方程 [例2]根据下列条件，分别求出双曲线的标准方程． (1)过点P(3，－)，离心率e＝； (2)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2). [思路点拨](1)(2)中焦点位置不明确，应先讨论焦点位置，再根据已知条件求解，对于(2)也可以根据渐近线方程设双曲线的方程求解． 解：(1)依题意，双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下： ①若双曲线的焦点在x轴上， 设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0). 由e＝，得＝.① 由点P(3，－)在双曲线上，得－＝1.② 又a2＋b2＝c2，结合①②，得a2＝1，b2＝. ∴双曲线的方程为x2－＝1. ②若双曲线的焦点在y轴上， 设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0). 同理有＝，－＝1，a2＋b2＝c2， 解得b2＝－(不合题意，舍去). 故双曲线的焦点只能在x轴上， ∴所求双曲线的方程为x2－＝1. (2)法一：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x. ①当所求双曲线的焦点在x轴上时， 设标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 由题意，得解得a2＝，b2＝4. ∴双曲线的方程为－＝1. ②当所求双曲线的焦点在y轴上时， 设标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 由题意可得此方程组无解， ∴所求双曲线的方程为－＝1. 法二：∵所求双曲线与双曲线－＝1有共同的渐近线． ∴设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0). 将点(－3，2)代入，得－＝λ，即λ＝， ∴双曲线的方程为－＝，即为－＝1. 【总结】　求双曲