3.2.1 双曲线及其标准方程-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

3.2　双曲线 ► 对应学生用书P102 3.2.1　双曲线及其标准方程 课程标准 核心素养 1．掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题． 2．掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程． 3．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题． 1．数学抽象：正确理解双曲线的定义，标准方程． 2．逻辑推理：理会双曲线标准方程的推导过程． 3．数学运算：能根据定义、双曲线的标准方程进行运算． 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、双曲线的定义 (1)定义：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线． (2)定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． (3)焦点：这两个定点叫做双曲线的焦点． (4)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． [提醒](1)双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当|PF1|－|PF2|＝2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支；当|PF1|－|PF2|＝－2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支； (2)若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线． [拓展延伸]双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有 (1)定义：|r1－r2|＝2a. (2)余弦公式：4c2＝r＋r－2r1r2cos θ. (3)面积公式：S＝r1r2sin θ. 一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决． 二、双曲线的标准方程 焦点所在的坐标轴 x轴 y轴 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 焦点所在的坐标轴 x轴 y轴 图形 焦点坐标 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系式 c2＝a2＋b2 [提醒]在双曲线的标准方程中，a＞b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2. 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　双曲线定义的应用 [例1]已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32.试求△F1PF2的面积． [思路点拨]　根据双曲线的定义及余弦定理求出∠F1PF2即可． 解：由－＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5. 由双曲线定义及P是双曲线左支上的点得|PF1|－|PF2|＝－6， ∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 又∵|PF1|·|PF2|＝32， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝100， 由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝0， ∴∠F1PF2＝90°， ∴＝|PF1|·|PF2|＝16. 【总结】　1.利用双曲线定义解决的两类问题 (1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线； (2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题． 2．利用双曲线的定义解决问题时的3个注意点 (1)距离之差的绝对值； (2)2a<|F1F2|； (3)焦点所在坐标轴的位置． 【母题探究】　1.(变条件)若本例中的标准方程不变，点P是双曲线上的一点，且·＝0，求△PF1F2的面积． 解：因为·＝0，所以⊥，不妨设点P在右支上， 所以有 解得||·||＝32， 所以＝||·||＝16. 2．(变条件)若把本例条件“|PF1|·|PF2|＝32”换成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，其他条件不变，试求△F1PF2的面积． 解：由－＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5， 由|PF1|∶|PF2|＝2∶5， 可设|PF1|＝2k，|PF2|＝5k. 由|PF2|－|PF1|＝6可得k＝2， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝10， 由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝＝， ∴sin ∠F1PF2＝，＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝×4×10×＝8. 【跟踪训练】 1.(2023·河南安阳模拟)设双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN＝∠F2NM，则|MN|＝(　　) A．8 B．4 C．8 D．4 解析：选C．由∠F2MN＝∠F2NM可知，|F2M|＝|F2N|，由双曲线定义可知， |MF2|－|MF1|＝4 ，|NF1|－