3.1.3 椭圆的简单几何性质(2)——直线与椭圆-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

3.1.3　椭圆的简单几何性质(2)——直线与椭圆 ► 对应学生用书P98 课程标准 核心素养 1．通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆的位置关系． 2．会求直线与椭圆相交所得弦的长，以及直线与椭圆的综合问题． 1．逻辑推理：判断直线与椭圆的位置关系， 2．数学运算：求相关弦长、定点、定值、最值、范围等． 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　直线与椭圆的位置关系 [例1]对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系． 解：由 得＋(x＋m)2＝1， 整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.③ 此方程的实数根的个数由根的判别式Δ决定， Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2). (1)当－＜m＜时，Δ＞0， 方程③有两个不同的实数根，此时直线与椭圆相交． (2)当m＝－或m＝时，Δ＝0， 方程③有两个相等的实数根，此时直线与椭圆相切． (3)当m＜－或m＞时，Δ＜0， 方程③没有实数根，直线与椭圆相离． 【总结】　直线与圆锥曲线位置关系的判断 [提醒]过椭圆内一点的直线均与椭圆相交． 【跟踪训练】 1.在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围． 解：由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，整理得x2＋2kx＋1＝0， 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，所以k的取值范围为∪. 突破点二　弦长问题及中点弦问题 [例2]椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程． [思路点拨]　本题有两种解法：一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题的方法，可称为“点差法”：二是利用圆锥曲线弦长的基本求法，先利用两点间距离公式求出含a，b的关系式，再借助弦所在直线的斜率求解． 解：法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差， 得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 而＝－1，＝kOC＝， 代入上式可得b＝a. ∵|AB|＝|x2－x1|＝2，即(x2－x1)2＝4， 其中x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根， 又∵(x1＋x2)2－4x1x2＝(x2－x1)2＝4， ∴－4·＝4. 将b＝a代入，解得a＝，b＝， ∴所求椭圆的方程是＋y2＝1. 法二　由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝·. ∵|AB|＝2，∴＝1.① 设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝. ∵OC的斜率为，∴＝， 代入①，解得a＝，b＝， ∴所求椭圆的方程是＋y2＝1. 【总结】1.求弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长． (2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·(或|P1P2|＝)，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长． [提醒]如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 2．点差法 利用点差法求直线斜率或方程：弦的端点在曲线上，端点坐标满足椭圆方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，得到中点坐标和斜率的关系，即若椭圆方程为＋＝1(a>b>1)，直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x，y)，则①－②，整理得a2(y－y)＋b2(x－x)＝0，∴＝－·＝－·.这样就建立了中点坐标与直线斜率之间的关系，从而使问题得以解决． 【跟踪训练】 2.过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分． (1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长． 解：(1)法一　设所求直线方程为y－1＝k(x－2).代入椭圆方程并整理，得 (4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个根， 于是x1＋x2＝.又M为AB的中点，∴＝＝2，解得k＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 法二　设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2). 又M(2，1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上， 则x＋4y＝16，x＋4y＝16.两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0. 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴＝－＝－，即kAB＝－. 又直线AB过点M(2，1)，故所求直线的方程为x＋2