3.1.2 椭圆的简单几何性质(1)-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

3.1.2　椭圆的简单几何性质(1) ► 对应学生用书P94 课程标准 核心素养 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形． 2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形． 数学运算：应用椭圆几何性质求参数． 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0) 范围 x∈[ －a，a]，y∈[－b，b] x∈[－b，b]，y∈[－a，a] 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2＝2c 离心率 e＝∈(0，1) [提醒] 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　椭圆的几何性质 [例1]求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标，并以矩形为参照画出椭圆的图形： (1)x2＋4y2＝4； (2)9x2＋4y2＝36. [思路点拨]化为标准方程，确定焦点位置及a，b，c的值，再写出椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标，并作出椭圆的图象． 解：(1)椭圆的标准方程为＋y2＝1，a＝2，b＝1，c＝＝， 该椭圆的长轴长为2a＝4， 短轴长为2b＝2， 焦距为2c＝2， 离心率为e＝， 焦点坐标为(－，0)；(，0)， 顶点坐标为(－2，0)；(2，0)；(0，－1)；(0，1)， 作出椭圆的图象如图所示： (2)椭圆的标准方程为＋＝1，则a＝3，b＝2，c＝＝， 该椭圆的长轴长为2a＝6， 短轴长为2b＝4， 焦距为2c＝2， 离心率为e＝＝， 焦点坐标为(0，－)；(0，)， 顶点坐标为(0，－3)；(0，3)；(－2，0)；(2，0)， 作出椭圆的图象如图所示： 【总结】1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型． 2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标． 【跟踪训练】 1.求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解：将椭圆方程变形为＋＝1， ∴a＝3，b＝2，∴c＝＝＝. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6，2c＝2， 焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)，B1(0，－2)，B2(0，2)，离心率e＝＝. 突破点二　利用几何性质求椭圆的标准方程 【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为； (2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4). 解： (1)将方程4x2＋9y2＝36化为＋＝1，可得椭圆焦距为2c＝2.又因为离心率e＝，即＝，所以a＝5，从而b2＝a2－c2＝25－5＝20.若椭圆焦点在x轴上，则其标准方程为＋＝1；若椭圆焦点在y轴上，则其标准方程为＋＝1. (2)依题意2a＝2×2b，即a＝2b. 若椭圆焦点在x轴上，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)， 则有解得 所以标准方程为＋＝1. 若椭圆焦点在y轴上，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)， 则有解得 所以标准方程为＋＝1. 【总结】　利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项 (1)用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)在求解a2、b2时常用方程(组)思想，通常由已知条件与关系式a2＝b2＋c2，e＝等构造方程(组)加以求解． 【跟踪训练】 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0). 由已知得2a＝10，a＝5，e＝＝，∴c＝4. ∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1. (2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0). 如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)， 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，2c＝6，