3.1.1 椭圆及其标准方程-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第三章　圆锥曲线的方程 3.1　椭圆 ► 对应学生用书P90 3.1.1　椭圆及其标准方程 课程标准 核心素养 1．掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题． 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程． 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题． 1．数学抽象：理解椭圆的定义、标准方程． 2．逻辑推理：理解椭圆标准方程的推导过程． 3．数学运算：能根据椭圆定义求解标准方程或应用定义解决最值问题． 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、椭圆的定义 (1)定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．如图，M点的轨迹即为椭圆． (2)焦点与焦距 这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． (3)几何表示 |MF1|＋|MF2|＝2a(a为常数)且2a>|F1F2|. 二、椭圆的标准方程 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 焦点坐标 (±c，0) (0，±c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 [提醒]当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，因为它包括焦点在x轴上(m＜n)和焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的． 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　求椭圆的标准方程 [例1]根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26； (2)经过点P，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上； (3)过(－3，2)且与＋＝1有相同的焦点． 解：(1)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). ∵2a＝26，2c＝10，∴a＝13，c＝5. ∴b2＝a2－c2＝144. ∴所求椭圆的标准方程为：＋＝1. (2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， ∵焦点在x轴上，2c＝2，∴a2＝b2＋1， 又椭圆经过点P，∴＋＝1，解得b2＝3，∴a2＝4. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (3)由方程＋＝1可知，其焦点的坐标为(±，0)，即c＝. 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则a2＝b2＋5，因为椭圆过点(－3，2)，代入方程为＋＝1(a＞b＞0)，解得a2＝15(a2＝3舍去)，b2＝10， 故椭圆的标准方程为＋＝1. 【总结】　利用待定系数法求椭圆的标准方程 (1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程． 【跟踪训练】 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x轴上，且a＝4，c＝2； (2)经过点P，Q. 解：(1)∵a2＝16，c2＝4，∴b2＝16－4＝12， 且焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1. (2)法一　①当椭圆的焦点在x轴上时，设标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 依题意，有解得 因为a＞b＞0，所以方程组无解． ②当椭圆的焦点在y轴上时，设标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 依题意，有解得所以所求方程为＋＝1. 法二　设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)， 依题意得解得 故所求方程为5x2＋4y2＝1，即＋＝1. 突破点二　椭圆的定义及其应用 [例2]设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 解：由椭圆方程知，a2＝25，b2＝，∴c2＝， ∴c＝，2c＝5. 在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.　　① 由椭圆的定义得10＝|PF1|＋|PF2|，两边平方， 即100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.　　② ②－①，得3|PF1|·|PF2|＝75， 所以|PF1|·|PF2|＝25， 所以S＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝. 【总结】　椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解． 【母题探究】　1.(变条件)将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“∠F1PF2＝30°”，其余条件不变，求△F1PF2的面积． 解：由椭圆方程知，a2＝25，b2