第二章 平面解析几何-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

2．1　坐标法 [课标解读]1.两点间的距离公式.2.中点坐标公式.3.坐标法的应用． 知识点　平面直角坐标系中的基本公式 1．两点间的距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量＝(x2－x1，y2－y1)，从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的距离公式|AB|＝||＝． 2．中点坐标公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)是线段AB的中点，则＝，从而可以得到在平面直角坐标系内的中点坐标公式：x＝，y＝． 平面上两点间的距离公式建立在数轴上两点间的距离公式的基础上，将既不平行也不垂直于坐标轴的线段进行分解，转化成垂直于坐标轴的线段，利用勾股定理推出．这一过程体现了“化斜为直”“化一般为特殊”的数学思想方法．　　 1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5 C　[由|AB|＝＝5⇒a＝1或a＝－5，故选C．] 2．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 B　[因为|AB|＝＝， |BC|＝＝＝3， |AC|＝＝， 所以△ABC是等腰三角形，故选B．] 3．已知两点A(2，m)与点B(m，1)之间的距离等于，则实数m＝(　　) A．－1 B．4 C．－1或4 D．－4或1 C　[∵|AB|＝＝. ∴m2－3m－4＝0，解得m＝－1或m＝4.] 4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于(　　) A．5 B．4 C．2 D．2 C　[设A(a，0)，B(0，b)， 则＝2，＝－1， 解得a＝4，b＝－2， ∴|AB|＝＝2.] 5．点A(－3，1)，C(1，y)关于点B(－1，－3)对称，则|AC|＝ ． 解析：　由已知得＝－3， 解得y＝－7，即C(1，－7)， ∴|AC|＝＝4. 答案：　4 题型一　中点坐标公式 已知点A(2，3)，B(x0，y0)，AB的中点M关于原点的对称点为N(－1，－2)，则x0＝ ，y0＝ ． [思路点拨]　利用中点坐标公式求解． 解析：　因为M与点N(－1，－2)关于原点对称，则M(1，2)，又因A，B两点的中点为M，则 解得x0＝0，y0＝1. 答案：　0　1 利用中点坐标公式求解时，应与对称点结合求解．　　 即时练1.已知数轴上A(－3)，B(2)，且A关于B的对称点为C，则C的坐标为 ． 解析：　设C的坐标为x，则2＝，∴x＝7. 答案：　7 即时练2.已知A(x，－3)，B(1，y)，中点坐标为(3，2)，则x＝ ，y＝ ． 解析：　由中点坐标公式得 3＝，∴x＝5，2＝，∴＝7. 答案：　5　7 题型二　两点间距离公式 已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． [思路点拨]　利用两点距离公式求边长，由勾股定理判定． 解析：　∵|AB|＝＝2， |AC|＝＝2， 又|BC|＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．　　 即时练3.已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 解析：　设点P的坐标为(x，0)，则有 |PA|＝＝， |PB|＝＝. 由|PA|＝|PB|， 得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－. 故所求点P的坐标为(－，0)． |PA|＝＝. 题型三　两点间距离公式 △ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，求证：△ABC为等腰三角形． [思路点拨]　—— 证明：　作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)． 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0)． 因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|BC|， 所以由距离公式可得 b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)， 即(b＋d)(b－d)＝(d－b)(c－d)． 又d－b≠0， 故－b－d＝c－d， 即－b＝c. 所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形． 解决此类问题的三步曲 (1)建立坐标系，用坐标表示有关的量． (2)进行有关代数运算． (3)把代数运算结果“翻译”成几何关系．　　 即时练4.已知△ABC是直角