4.1平方根（八大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）八年级上册数学《第4章 实数》 4.1 平 方 根 知识点一 平方根 ◆1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根. ◆2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根. ◆3、平方根的表示方法：正数a正的平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-. 正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”． ◆4、平方根的性质： ①正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0的平方根是0； ③负数没有平方根. 知识二 算术平方根 ◆1、算术平方根的定义： 我们把正数a的正的平方根叫做a的算术平方根．a的算术平方根记作：，读作:“根号a”. 规定：0的算术平方根是0. 记作: =0. ◆2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性. ①被开方数一定是非负数，即a≥0. ②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0. ◆3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根. ◆4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 【注意】实际上省略了中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此也读作：“二次根号a”. ◆5、算术平方根与平方根的联系和区别： 联系：（1）包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种. （2）只有非负数才有平方根和算术平方根. （3） 0的平方根是0，算术平方根也是0. 区别：（1）个数不同：一个正数有两个平方根， 但正数算术平方根只有一个. （2）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为，正数a的平方根表示为； 题型一 平方根及算术平方根的认识 【例题1】下列说法正确的是（　　） A．25的平方根是5 B．（﹣3）2的平方根是﹣3 C．的算术平方根是 D．0.16的算术平方根是±0.4 解题技巧提炼 ±（a≥0）表示非负数的a的平方根，（a≥0）表示非负数a的算术平方根. 【变式1-1】（2022秋•莱州市期末）144的平方根是±12的数学表达式是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】下列说法中，正确的是（　　） A．任何数的平方根都有两个 B．一个数的平方根是它本身 C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根 【变式1-3】（2022秋•陈仓区期中）下列语句中，错误的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是±3 C．是的一个平方根 D．9的平方根是±3 【变式1-4】（2022秋•鄞州区校级月考）平方根是±的数是（　　） A． B． C． D．± 【变式1-5】（2022春•澄迈县期末）（﹣6）2的平方根是（　　） A．6 B．±6 C． D．36 【变式1-6】（2022秋•城阳区期中）若x+4是4的一个平方根，则x的值为（　　） A．﹣2 B．﹣2或﹣6 C．﹣3 D．±2 【变式1-7】（2022秋•薛城区校级月考）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（　　） A．± B．a﹣1 C．a2﹣1 D．± 题型二 求一个数的平方根 【例题2】求下列各数的平方根： （1） （2）0.36 （3）（﹣9）2 （4） 解题技巧提炼 本题运用了定义法，求一个数的平方根，先把被开方数化成x2=a的形式，再根据定义即可求出它的平方根. 【变式2-1】的平方根是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023•常德三模）的平方根是（　　） A．4 B．±4 C．±2 D．2 【变式2-3】（2023•西乡塘区校级开学）已知实数a的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（　　） A．﹣2 B． C．4 D．﹣4 【变式2-4】（2022秋•二道区校级期中）在﹣2，0，，23，1.44中，有平方根的数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2-5】（﹣8）2的平方根是（　　） A．﹣8 B．8 C．±8 D．±64 【变式2-6】（2022秋•雁塔区校级月考）求下列各数的平方根： （1）49； （2）； （3）2； （4）0.36； （5）． 【变式2-7】求下列各式的值： （1）； （2）±； （3）； （4）±． 题型三 求一个数的算术平方根 【例题3】求下列各数的算术平方根： （1）144； （2）0.49； （3）6； （4）（）2． 解题技巧提炼 根据算术平方根的概念求一个数的算术平方根，（1）当遇到求带分数的算术平方