第3章 章末总结 (三)不等式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

章末总结　(三)不等式 　 第3章 不等式 阶段过关检测卷(三) 谢 谢 观 看 ！ 第 3 章 　 不等式 考点一　不等式的性质及应用 不等式性质是本章的重要考点，主要有以下命题角度：(1)根据不等式性质判断命题真假；(2)利用不等式性质解不等式；(3)利用不等式性质证明不等式；(4)利用不等式性质求代数式范围．题型多为选择或填空题，有时也命制解答题，难度中低等．解题时要注意各个性质适用的条件． 例1.已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0， eq \f(c,a) － eq \f(d,b) >0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，请写出可组成正确命题的两个命题． 解：若ab>0，bc－ad>0成立，不等式bc－ad>0两边同除以ab可得 eq \f(c,a) － eq \f(d,b) >0， 即命题1：ab>0，bc－ad>0⇒ eq \f(c,a) － eq \f(d,b) >0. 若ab>0， eq \f(c,a) － eq \f(d,b) >0成立，不等式 eq \f(c,a) － eq \f(d,b) >0两边同乘ab，可得bc－ad>0， 即命题2：ab>0， eq \f(c,a) － eq \f(d,b) >0⇒bc－ad>0. 若 eq \f(c,a) － eq \f(d,b) >0，bc－ad>0成立，则 eq \f(c,a) － eq \f(d,b) ＝ eq \f(bc－ad,ab) >0. 又bc－ad>0，则ab>0， 即命题3： eq \f(c,a) － eq \f(d,b) >0，bc－ad>0⇒ab>0. (以上三个命题中任意选择两个命题都可以) 【练一练】 1．已知a>b>0，c<d<0，e<0，则下述一定正确的是(　　) A．ae>be B．c2<d2 C． eq \f(e,a－c) ＋ eq \f(e,d－b) >0 D．(d－c)e> eq \f(a,b) 答案： C 解析：因为a>b>0，c<d<0，e<0，所以ae<be，c2>d2，故AB错误； －c>－d>0，所以a－c>b－d>0，所以 eq \f(1,a－c) < eq \f(1,b－d) ，所以 eq \f(e,a－c) > eq \f(e,b－d) ， 即 eq \f(e,a－c) ＋ eq \f(e,d－b) >0，故C正确； 对于D，若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－ eq \f(1,2) ，e＝－1时，则(d－c)e＝2＝ eq \f(a,b) ，故D错误． 考点二　基本不等式及其应用 基本不等式应用广泛，主要用于求函数的最值．一些恒成立问题、不等式的证明问题、实际情境中的最值问题等都可以转化为基本不等式问题．常考题型为选择或填空题，难度中等．解题时要注意不等式成立的前提，有时要根据式子特点构造应用基本不等式的条件． 例2.(1)不等式2x＋m＋ eq \f(1,x－1) <0对一切x∈(－∞，1)恒成立，则实数m的取值范围是___________． 解析：∵2x＋m＋ eq \f(1,x－1) <0对一切x∈(－∞，1)恒成立， ∴m<－2x－ eq \f(1,x－1) ＝2(1－x)＋ eq \f(1,1－x) －2对一切x∈(－∞，1)恒成立， ∵x<1，∴1－x>0， eq \f(1,1－x) >0， ∴2(1－x)＋ eq \f(1,1－x) ≥2 eq \r(2（1－x）·\f(1,1－x)) ＝2 eq \r(2) ，当且仅当2(1－x)＝ eq \f(1,1－x) ，即x＝1－ eq \f(\r(2),2) 时取等号． ∵不等式2x＋m＋ eq \f(1,x－1) <0对一切x∈(－∞，1)恒成立，∴m<2 eq \r(2) －2. ∴实数m的取值范围是(－∞，2 eq \r(2) －2). 答案：(－∞，2 eq \r(2) －2) (2)已知正实数a，b满足 eq \f(1,2a＋b) ＋ eq \f(1,b＋1) ＝1，求证：a＋b≥ eq \f(3,2) . 证明：：因为2a＋2b＋1＝2a＋b＋b＋1， 由 eq \f(1,2a＋b) ＋ eq \f(1,b＋1) ＝1，可得2a＋b＋b＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a＋b)＋\f(1,b＋1))) [(2a＋b)＋(b＋1)] ＝1＋ eq \f(b＋1,2a＋b) ＋1＋ eq \f(2a＋b,b＋1) ≥2＋2 eq \r(\f(b＋1,2a＋b)×\f(2a＋b,b＋1)) ＝4， 当且仅当a＝ eq \f(1,2) ，b＝1时取等号，所以2a＋2b＋1≥4，即a＋b≥ eq \f(3,2) . 【练