3.3.1 从函数观点看一元二次方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

　 第 3 章 3．3．1　 从函数观点看一元二次方程 3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 课下培优巩固练 高效导学第二步　课堂互动探究 培优关键能力 高效导学第一步　预习教材新知 落实必备知识 内 容 索 引 预习教材新知　落实必备知识 索引 高效导学第一步 自变量x 横坐标 课堂互动探究　培优关键能力 高效导学第二步 索引 课下培优巩固练（十四） 索引 谢 谢 观 看 ！ 第 3 章 　 不等式 [课程标准]　1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．　2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．　3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 一、二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时____________的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的_________，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点． 记一记：函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标，也是函数值为零时自变量x的值，也是函数相应方程的实数根． 二、函数零点的探究 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示： 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1，2＝ eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a) 有两个相等的实数根x1，2＝－ eq \f(b,2a) 没有 实数根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 有两个零点______________ 有一个零点x＝___ 无零点 x1，2＝ eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a) eq \f(－b,2a) 记一记：求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0.若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的实数根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点． 【基点小试】 1．二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案：C 解析：令y＝0得，x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为－1. 2．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为________． 解析：由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2. 答案：2 3．求下列函数的零点． (1)y＝3x2－2x－1； (2)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示． 解：(1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－ eq \f(1,3) ，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－ eq \f(1,3) . (2)由函数的图象与x轴的交点的横坐标为－3和1，可知该函数的零点为－3和1. 题型一　二次函数的零点 例1.(1)二次函数y＝x2－7x＋12的零点为________； (2)若函数y1＝x2－ax－b的图象如图所示，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是________． 解析：(1)由x2－7x＋12＝0得x1＝3，x2＝4. 所以函数y＝x2－7x＋12的零点为3和4. (2)由题图可知函数y1＝x2－ax－b的零点是2和3，由函数的零点与对应方程根的关系知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，即a＝5，b＝－6.所以y2＝－6x2－5x－1，易得y2的零点为－ eq \f(1,2) 和－ eq \f(1,3) . 答案：(1)3和4　(2)－ eq \f(1,2) 和－ eq \f(1,3) [总结] 　二次函数零点的求法 (1)代数法：求出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根，即为函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点； (2)几何法：对于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以将它与对应函数的图象联系起来，利用函数的性质求零点． 【练一练】 1．求函数y＝ax2－x－a－1(a∈R)的零点． 解：①当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1. ②当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)(x＋1)＝0，