3.2 第一课时 基本不等式的证明-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

　 第 3 章 第一课时　基本不等式的证明 课下培优巩固练 高效导学第二步　课堂互动探究 培优关键能力 高效导学第一步　预习教材新知 落实必备知识 内 容 索 引 预习教材新知　落实必备知识 索引 高效导学第一步 ≤ a＝b 课堂互动探究　培优关键能力 高效导学第二步 索引 课下培优巩固练（十二） 索引 谢 谢 观 看 ！ 第 3 章 　 不等式 3．2　基本不等式 eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) (a，b≥0) [课程标准]　1.理解基本不等式 eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) (a，b≥0).　2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题． 一、算术平均数、几何平均数与基本不等式 1．算术平均数与几何平均数 对于正数a，b，我们把 eq \f(a＋b,2) 称为a，b的算术平均数， eq \r(ab) 称为a，b的几何平均数． 2．基本不等式 如果a，b是正数，那么 eq \r(ab) ___ eq \f(a＋b,2) (当且仅当__________时，等号成立)，我 们把不等式__________________________称为基本不等式． eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) (a，b≥0) 记一记：不等式a2＋b2≥2ab与 eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) 的比较 (1)都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； (2)成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可). 二、两个重要的的不等式 若a，b∈R，则 (1)ab≤ eq \f(a2＋b2,2) ，即a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)； (2)ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2) (当且仅当a＝b时，等号成立). 【基点小试】 1．若x≥1，则x＋ eq \f(5,4x) 的最小值为(　　) A． eq \r(5) B．2 eq \r(5) C． eq \f(9,4) D．5 解析：因为x≥1，所以x＋ eq \f(5,4x) ≥2 eq \r(x×\f(5,4x)) ＝ eq \r(5) ，当且仅当x＝ eq \f(5,4x) ，即x＝ eq \f(\r(5),2) 时等号成立．所以x＋ eq \f(5,4x) 的最小值为 eq \r(5) . 答案：A 2．设正实数x，y满足2x＋y＝1，则xy的最大值为(　　) A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,4) C． eq \f(1,8) D． eq \f(1,16) 答案：C 解析：由基本不等式可得2x＋y≥2 eq \r(2xy) ，即2 eq \r(2xy) ≤1，解得xy≤ eq \f(1,8) ，当且仅当2x＝y，即x＝ eq \f(1,4) ，y＝ eq \f(1,2) 时，取等号． 3．若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a＋b，2 eq \r(ab) ，2ab，a2＋b2中最大的是(　　) A．a2＋b2 B．2 eq \r(ab) C．2ab D．a＋b 解析：法一　∵0<a<1，0<b<1，且a≠b，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2 eq \r(ab) ，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D. 法二　取a＝ eq \f(1,2) ，b＝ eq \f(1,3) ，则a2＋b2＝ eq \f(13,36) ，2 eq \r(ab) ＝ eq \f(\r(6),3) ，2ab＝ eq \f(1,3) ，a＋b＝ eq \f(5,6) ，显然 eq \f(5,6) 最大，故选D. 答案：D 4．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________． 解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，“＝”成立． 答案：a＝1 题型一　对基本不等式的理解 例1.给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴ eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥2 eq \r(\f(b,a)· \f(a,b)) ＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴ eq \f(4,a) ＋a≥2 eq \r(\f(4,a)·a) ＝4；③∵x，y∈R，xy<0，∴ eq \f(x,y) ＋ eq \f(y,x) ＝－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x))))) ≤－2 eq \r(\b\lc