专题24.46 几何模型专题（切线的证明）（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题24.46 几何模型专题（切线的证明）（知识梳理与考点分类讲解） 【知识要点】证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法 连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直” 作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径” 类型一、有公共点：连半径，证垂直 【考点一】勾股定理逆定理法证垂直 【例1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，，的半径为3．求证：是的切线． 【答案】见分析 【分析】由于题意没有明确圆与直线的交点，作垂直再根据切线的判定方法即可得证． 解：证明：如图，过作于， ，， ， 在中，， 的半径为3， 为的半径， 是的切线． 【点拨】本题考查切线的判定，切线的证明方法有两种：知交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径． 【举一返三】 【变式1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，AD，BD是的弦，，且，点C是BD的延长线上的一点，，求证：AC是的切线． 【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可． 解：证明：连接AB， ∵，且 ∴AB为直径，AB2=82+42=80， ∵CD=2，AD=4 ∴AC2=22+42=20 ∵CD=2，BD=8, ∴BC2=102=100 ∴， ∴ ∴AC是的切线． 【点拨】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形． 【变式2】（2022秋·贵州遵义·九年级校考期中）如图，是上一点，点在直径的延长线上，的半径为，，. 求证：是的切线. 【答案】见分析 【分析】连接，证明得是直角三角形，即，则是的切线． 解：证明：如图，连接， ∵的半径为，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴是的切线． 【点拨】本题考查了切线的判定，勾股定理的逆定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． 【考点二】利用三角形全等证明证垂直 【例2】（2023·湖南邵阳·统考二模）如图，已知是的直径，D是上一点，且．求证：是的切线．    【答案】见分析 【分析】连接，根据圆周角之间的关系得到，然后得到，证明出，得到，进而得到，即可证明出是的切线． 解：连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，OC公共边， ∴， ∴， 又点B在上， ∴是的切线． 【点拨】此题考查了圆周角定理，直径的性质，切线的判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【举一返三】 【变式1】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，且PA=PB． （1）求证：PB与⊙O相切； （2）点Q在劣弧AB上运动，过点Q作⊙O的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA=6，则△PMN的周长为______． 【答案】（1）见分析；（2）12 【分析】（1）连接OB，证明△APO≌△BPO（SSS），由全等三角形的判定与性质得出∠PAO=∠PBO=90°，得出OB⊥PB，则可得出结论； （2）由切线长定理可得出答案． 解：（1）证明：连接OB， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴∠PAO=90°， 在△APO和△BPO中， ， ∴△APO≌△BPO（SSS）， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∴OB⊥PB， ∴PB与⊙O相切； （2）解：∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，PA=6， ∴MA=MQ，NQ=NB，PA=PB=6， ∴△PMN的周长=PM+MQ+NQ+PN=PA+PB=12； 故答案为：12． 【点拨】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【变式2】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，O为菱形 ABCD对角线上一点，⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切． 【答案】见分析 【分析】连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N，只要证明OM=ON即可得出结论． 解：证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N， ∵⊙O与BC相切于点M，   ∴OM⊥BC，OM为半径，   ∴∠OMC=∠ONC=90°， ∵AC是菱形ABCD的对角线，    ∴∠ACB=∠ACD， ∵OC=OC， ∴△OMC≌△ONC（AAS），   ∴ON=OM=半径，∠ONC=90°， ∴CD与⊙O相切． 【点拨】本题考查了切线的判定定理，菱形的性质，熟知无交点，作垂直，证半径是解题的关键． 【考点三】利用平行线的性质证垂直 【例3】6．（2023春·安徽六安·九年级校联考阶段练习）如图，为的直径，直线交于A、B两点，点D在上，平分，于点E．求证：直线是的切线． 【答案