专题14.13 乘法公式（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题14.13 乘法公式（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点提醒：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 【知识点2】完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点提醒：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ； 【知识点3】添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 要点提醒：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 【知识点4】补充公式 ；； ；. 【考点一】平方差公式➼➻利用公式进行运算 【例1】（2023秋·北京海淀·八年级校考期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】；4 【分析】利用平方差公式变形后，整理后可将原式化简为，再代入即可求出结论． 解：原式 = 当时， 原式． 【点拨】本题考查了整式的化简求值，灵活运用平方差公式变形是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023秋·四川眉山·八年级校考期中）下列不能用平方差公式直接计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“两个数的和与两个数的差的积”能运用平方差公式直接计算，逐项分析即可得到答案． 解：A、不满足“两个数的和与两个数的差的积”，不能用平方差公式计算，故此选符合题意； B、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题意； C、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题意； D、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题意； 故选：A． 【点拨】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解此题的关键． 【变式2】（2023秋·四川资阳·八年级四川省乐至中学校考期中）已知. ． 【答案】9 【分析】根据题意可得，运用平方差公式解因式再整体代入即可 解： ， 故答案为：9． 【点拨】本题考查了平方差公式，解题的关键是会运用整体思想代入． 【考点二】平方差公式➼➻几何图形 【例2】（2020秋·陕西渭南·八年级统考阶段练习）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．      图1           图2 （1）设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含a、b式子表示和； （2）用上面的结果可以验证哪个乘法公式？ （3）利用（2）中得到的公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】（1），；（2）；（3）①4；②1． 【分析】（1）根据图像利用长方形与正方形的面积公式进行列式即可； （2）根据和的面积相等可以验证平方差公式； （3）利用平方差公式进行变形，再进行计算即可． （1）解：根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得： ，； （2）解：以上结果可以验证的乘法公式是； （3）解：①∵，，， ∴， ② 【点拨】本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）如图，为将一个小正方形放入一个大正方形中形成的图形，两个正方形的边长相差3，阴影部分的面积为39，则较小正方形的面积是（    ） A．49 B．37 C．36 D．25 【答案】D 【分析】设较小正方形的边长为，则较大正方形的边长为，根据题意列出方程，求解后利用正方形的面积公式可得答案． 解：两个正方形的边长相差3， 设较小正方形的边长为，则较大正方形的边长为，根据题意，得 ， 解得， 小正方形的面积为：， 故选：D． 【点拨】此题考查的是平方差公式，根据题意列出方程是解决此题的关键． 【变式2】（2023春·河南周口·七年级校考阶段练习）如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2的长方形，则可以得到一个等式为 ．    【答案】 【分析】由大正方形的面积小正方形的面积矩形的