精品解析：湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期月考数学试卷（三）

湖南师大附中2024届高三月考试卷（三） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知复数（为虚数单位）的实部与虚部之和为4，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若平面向量满足，则（ ） A. B. C. D. 4. “且”是“为第三象限角”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 将函数的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 焦点为的抛物线的对称轴与准线交于点，点在抛物线上且在第一象限，在中，，则直线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知等比数列单调递增，且成等差数列，则当取最小值时，集合中的元素之和为（ ） A. 36 B. 42 C. 54 D. 61 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 抽取市某届马拉松比赛前5000名的部分跑者成绩绘制如下频数分布表（单位：分钟）： 分组 频数 20 60 160 140 80 40 则下列选项正确的是（ ） A. 估计总体中成绩落在分钟内的选手人数为4500 B. 这组数据平均数的估计值为307分钟 C. 这组数据第62百分位数的估计值为325分钟 D. 在由以上数据绘制的频率分布直方图中，各组长方形的高度之和为0.02 10. 已知曲线的方程为（且)，，分别为与轴的左、右交点，为上任意一点(不与，重合)，则（ ） A. 若，则为双曲线，且渐近线方程为 B. 若点坐标为，则为焦点在轴上的椭圆 C. 若点坐标为，线段与轴垂直，则 D. 若直线，的斜率分别为，，则 11. 如图，已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，点为棱的中点，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，则（ ） A. 长度的最小值为 B. 存在点，使得 C. 存在点，使得 D. 棱长为1.5的正方体可以在此空心棱台容器内部任意转动 12. 定义在上的函数满足，函数的图象关于对称，则（ ） A. 8是的一个周期 B. C. 的图象关于对称 D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若圆和圆恰有三条公切线，则实数____________． 14. 若，则当取得最小值时，_______. 15. 已知正的边长为2，点为所在平面内的动点，且，则的取值范围为____________． 16. 在三棱台中，，，平面平面，则该三棱台外接球的体积为____________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知是边长为2等边三角形，O是内一点，且，，求的长和. 18. 已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19. 如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为1． （1）从下面①②③中选择两个作为条件，证明另一个成立； ①；②为直角；③平面平面． （2）设点是棱上一点．在（1）中条件都成立的情况下，试确定点的位置，使得直线与平面所成的角最大． 20. 某种植物感染病毒极易死亡，当地生物研究所为此研发出了一种抗病毒的制剂．现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效．测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计，并对植株吸收制剂的量（单位：毫克）进行统计．规定植株吸收在6毫克及以上为“足量”，否则为“不足量”．现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表．已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株． 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 吸收量（毫克） 6 8 3 8 9 5 6 6 2 7 编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 吸收量（毫克） 7 5 10 6 7 8 8 4 6 9 （1）补全列联表中的空缺部分，依据的独立性检验，能否认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？ 吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 1