第一章 特殊平行四边形——十字架模型之全等与相似 导学案 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

十字架模型之全等与相似 （一）十字架模型之全等 来源：北师大版教材P22 T3 （1）模型认知 如图，在正方形ABCD中，点E、F、P、Q分别在AB、BC、AD、CD上。 小明认为:若EQ⊥FP，则EQ=FP； 小亮认为:若EQ=FP, 则EQ⊥FP. 你认为哪位同学说的对？请说明理由并写出证明步骤 （2） 典例升华 1.如图,在正方形 ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且 DE=CF,AF与BE 相交于点G. (1)求证:BE=AF. (2)若AB=4,DE=1,求AG的长。 2.如图,已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E为CD 上一点，且DE=1,F为BC上一动点,过点E作 EG⊥AF 于点P,交线段AB于点G。 （1） 求证：AF=EG （2） 若∠BAF=∠PCF,求证：PC=PE （3） 拓展提升 3.【感知】:如图①，在正方形 ABCD 中,E为边AB上一点(点E不与点A,B重合),连接 DE,过点A作AF⊥DE,交BC 于点F,易证:DE=AF.(不需要证明） 【探究】:如图②，在正方形 ABCD 中,E,F分别为边AB,CD上的点(点E,F不与正方形的顶点重合),连接EF,作 EF 的垂线分别交边AD,BC于点G,H,垂足为0.若E为AB 中点,DF=1,AB=4,求GH的长。 【应用】:如图③,在正方形 ABCD 中,点E,F分别在BC,CD上,BE=CF,BF,AE 相交于点G.若AB=3,图中阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为2:3,则△ABG的面积为_____________,△ABG 的周长为_____________. （2） 十字架模型之相似 （1）模型认知 在矩形ABCD中，点E、H、G、F分别在AB、BC、AD、CD上，若GH⊥EF，则____________ （2）典例升华 1.如图，在矩形ABCD中,AD=2CD,E、F分别是AB、AD边上的点,且DE⊥CF，求证:DE=2CF. 2.如图,在矩形ABCD中,E、F、G、H分别是边AB、CD、BC、AD上的点且EF⊥GH.若 = ,EF=10,求GH的长 （3）拓展提升 1.某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题,请你逐一加以解答. (1)如图1，在正方形 ABCD 中,EF⊥GH,EF分别交AB，CD 于点E，F，GH分别交AD,BC于点G,H,则EF____GH（填“>”"=”或“<”） (2)如图2,在矩形 ABCD 中,EF⊥GH,EF 分别交AB,CD于点E，F，GH 分别交AD,BC于点G,H,求证: = (3)如图3,在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠ADC=90°,BC=3,CD=5,AD=7.5,AM⊥DN,点M,N分别在边BC,AB上,求的值. 2.【探究证明】 (1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相乖直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究,提出下列问题.请你给出证明: 如图①,在矩形 ABCD中,EF⊥GH,EF 分别交AD,BC于点E,F,GH分别交AB、DC于点G、H,求证： = 【结论应用】 (2) 如图②,将矩形ABCD 沿EF 折叠,使得点B和点D重合,若AB=2,BC=3.求折痕EF的长。 【拓展运用】 (3)如图③.将矩形 ABCD 沿EF 折叠,使得点D落在AB边上的点G处,点C落在点P处,得到四边形 EFPG.若AB=2.BC=3.EF= ,请求BP的长. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$