切线问题 专题讲义-2024届高三数学一轮复习

切线问题 在课本的第一节，导数以瞬时变化率和切线斜率的身份出现，必然地，切线问题就会是导数中的一类重要问题.导数的切线问题主要有两类问题：第一类是求函数图像上某一点的切线方程或是过某一点的函数图像的切线方程；第二类是公切线问题.此外，切线还常常出现在解析几何中求距离最值. 1. 求切线 1. 求曲线某点处的切线 例1、已知函数.求曲线在点处的切线方程. 解：由题意得，所以 又因为，所以切线方程为 整理得. 例2、函数.求曲线在点处的切线方程. 解：因为的定义域为， 所以， 因此，即曲线在点处的切线斜率为. 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 2、求过曲线外一点的曲线的切线 例3、设函数，求曲线过原点的切线方程. 解：设切点坐标为， 所以. 所以k= = +3 所以，所以 故所求切线方程为. 例4、已知函数.经过点（-1，-2）作函数图像的切线，求该切线 的方程. 解：设切点为 则 解得 故切线方程为，即. 点评：由例3和例4可知，对于切点不在曲线上的切线问题，我们需要设出切点，利用斜率表达式解出切点，进而得到切线方程. 1. 多切线问题 若过某一个曲线外的点可做多条曲线的切线，我们就称该问题为多切线问题.多切线问题应利用方程思想，转化为函数的零点问题. 例5、．已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围. 解：（1）， ∴切线斜率， ∴曲线在处的切线方程为， ∴即； （2）过点向曲线作切线，设切点为， 则， ∴切线方程， 即， ∴有三个不同实数根， 记，令或1， 则的变化情况如下表 0 1 + 0 - 0 + 极大 极小 当有极大值；有极小值. 因为过点可作曲线的三条切线， 则，即， 解得， 所以的范围是. 例6、已知过点且与曲线相切的直线的条数有（ ）． A．0 B．1 C．2 D．3 解：设直线与曲线切于点 则 又∵,∴,∴ 解得, ∴过点与曲线相切的直线方程为或 故选C． 1. 公切线问题 对于两个或两个以上的曲线，若它们存在公共切线，则我们称该问题为公切线问题.对于该问题，我们的处理方法往往是：两曲线分别设出切点，写出各自的切线方程，利用待定系数法解出切点，进而求解问题. 例7、已知直线即是曲线的切线,又是曲线的切线,则直线在轴上的截距为 A．2 B．1 C． D．. 解：设直线l与曲线的切点为（） 与曲线的切点为（） 由y＝,得,由ye2x2,得, ∴直线l的方程为,或, 则,解得x1＝x2＝2． ∴直线l的方程为：y﹣e2＝e2（x﹣2）,取y＝0,可得x＝1． ∴直线l在x轴上的截距为1．故选B． 例8、（汕头市金山中学2023届高三年级校模）已知函数，，其中a>0且a≠1. (1)征明：当a=e时，恒成立； (2)证明：当a> 时，曲线与曲线有且只有两条公切线． 证明：（1）当a=e时，原式化为即 先证,令，则 当时，，当时， ，，同理 ,．故原式得证. (2)设直线l分别与、相切于点、， ， ， 消去得 令，得 令 要证两函数有且只有两条公切线，即证h(t)在上有且只有两个零点． 恒成立， 在上单调递增， 在上有唯一零点,且 当时，，当时， 又时，，时， 在和上分别存在一个零点，故有且只有两个零点，故原命题得证． 点评：这道题考察了公切线问题，居于整张试卷的压轴部分，难倒不少人，加之它的运算量大，在短时间内根本解决不了，甚至于可以和圆锥曲线的四点共圆模型的运算量相提并论，但它的方法是值得推荐的，解释了我们公切线问题解决的原理，属于难题. 1. 距离最值 解析几何中常有一类双交点问题，即一条平行于坐标轴的直线与一曲线、一直线交于两点，求两点的最小距离，求解该类问题的思路是平移直线至与曲线相切，即可求出最短距离. 1. 设直线y=t与函数y=3x+3、y=2x+的图像分别交于M、N两点，求｜MN｜的最小值. 解：易知当N点处图像的切线斜率等于直线斜率时｜MN｜最小 求导=2+，令其等于3 得x=1 即N（1，2） N处切线为y=3x-1 两条直线距离为d== 因为直线斜率为3，则倾斜角的正弦值为 ｜MN｜= = 五、真题演练 1、（2021年全国乙卷文科数学） 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 解：(1)由函数的解析式可得：， 导函数的判别式， 当时，在R上单调递增， 当时，的解为：， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上可得：当时，在R上单调递增， 当时，在，上 单调递增，在上单调递减. (2)由题意可得：，， 则切线方程为：， 切线过坐标原点，则： 整理可得：，即：， 解得：，则， 切线方程为：, 与