三角函数的应用 讲义-2024届高三数学一轮复习

课题：三角函数的应用 知识点： 1．函数的图像与性质的综合应用 （1）的递增区间是，递减区间是． （2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系． 的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为． （3）若为偶函数，则有;若为奇函数则有． （4）的最小正周期都是． 【注】 1．求形如或 （其中A≠0，）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ （）”视为一个“整体”；②A>0（A<0）时，所列不等式的方向与 （）， （）的单调区间对应的不等式方向相同（反）． 2．如何确定函数 当时函数的单调性；对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内． 3．求函数 （或，或）的单调区间的步骤： （1）将化为正． （2）将看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 4．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“”． 三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． 典型例题 例1已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin （2x+），则下面结论正确的是（ ） A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 例2设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（ ） A．f（x）的一个周期为−2π B．y=f（x）的图像关于直线x=对称 C．f（x+π）的一个零点为x= D．f（x）在（,π）单调递减 例3如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 例4将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象关于原点对称，则函数在的最大值为（ ） A． 0 B． C． D． 1 例5一个半径为5米的水轮示意图，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，水轮上的点P到水面的距离y（单位：米）与时间x（单位：秒）满足函数关系式，，，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 例6将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示，已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0．1cm）（    ） A．15．4cm B．16．4cm C．17．4cm D．18．4cm 例7单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为，那么单摆来回摆动的振幅（厘米）和一次所需的时间（秒）为（    ） A．3，4 B．，4 C．3，2 D．，2 例8将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为 ． 例9函数（）的部分图象如图所示， 其中是函数的一个零点． （I）写出及的值； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 举一反三 1．将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像,若,的图像都经过点,则的值可以是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为（ ） A． 2 B． 3