精品解析：上海市嘉定第二中学2024届高三上学期期中质量监测数学试卷

上海嘉定第二中学2024届第一学期期中质量监测 高三年级数学学科试卷 一､填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前6题每题得4分，后6题每题得5分. 1 已知log52＝a，5b＝3，用a，b表示log512＝___． 2. 在△ABC中，若a＝2bcos C，则△ABC的形状为________． 3. 当时，求的值___________． 4. 设，求方程的解集__________. 5. 已知集合，则集合用列举法表示为______. 6. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是__________. 7. 方程的解为_________． 8. 函数为偶函数，则实数的值为__________. 9. 若平面向量，，则与夹角的正切值是_________. 10. 若关于，的方程组与的解集相等，则______. 11. 已知函数，对任意，都有（为常数），且当时，，则_________. 12. 定义：如果函数在上存在，，满足，则称数，为的上的“对望数”，函数为上的“对望函数”，给出下列四个命题： ①二次函数在任意区间上都不可能是“对望函数”； ②为上的“对望函数”，则在上不单调； ③函数是上的“对望函数”； ④函数是上“对望函数”； 其中正确命题序号为______（填上所有正确命题的序号）． 二､选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，13、14题每题选对得4分.15、16题每题选对得5分 13. 若,则下列不等式恒成立的是 A. B. C. D. 14. 在中，，，，若满足条件的有两个，则的可能取值为（　　） A. B. C. D. 15. 已知函数为偶函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 16. 若函数，则其中错误的是（ ） A. 的最小正周期为； B. 的图像关于直线对称； C. 的最小值为 ； D. 的单调递减区间为 . 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 已知集合，. （1）若求； （2）若设，已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围; 18. 设与均为单位向量. （1）若，求向量与夹角； （2）若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值; 19. 杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买台“机器狗”的总成本为 （1）若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台? （2）现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米. 3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为，，. “汪1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） 奔跑，另一半的时间以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑、其中，，则哪台机器狗用的时间最少? 请说明理由. 20. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的对应向量，同时称函数为向量的对应函数. （1）设函数，求函数的对应向量； （2）若向量的对应函数满足，求的值； （3）若向量的对应函数为，且，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围. 21. 设是定义在R上的函数，其导函数为. （1）若函数，求的值； （2）若是奇函数，当时，恒有，求不等式的解集; （3）若对于任意的实数都有，且，若关于的不等式的解集中恰有唯一的一个整数，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海嘉定第二中学2024届第一学期期中质量监测 高三年级数学学科试卷 一､填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前6题每题得4分，后6题每题得5分. 1. 已知log52＝a，5b＝3，用a，b表示log512＝___． 【答案】##b+2a 【解析】 【分析】由题可得，再利用对数的运算法则即得. 【详解】∵5b＝3， ∴，又log52＝a， ∴. 故答案为：. 2. 在△ABC中，若a＝2bcos C，则△ABC的形状为________． 【答案】等腰三角形 【解析】 【详解】∵a＝2bcos C，∴sin A＝2sin Bcos C， 而sinA＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， ∴cos Bsin C＝sin Bcos C， 即sin Bcos C－cos Bsin C＝0， ∴sin(B－C)＝0. 又－180°<B－C<180°， ∴B－C＝0，即B＝C. ∴△ABC为等腰三角形． 故答案为等腰三角形 点睛：判断三角形形状注意区分，sin