专题三函数的概念与性质 讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题三 函数的概念与性质 一、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 说明：①构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的；如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 二、函数相同的判别：函数是否相同，看定义域和对应法则。 ①讨论：函数、、、、有何关系？ ②练习：判断下列函数与是否表示同一个函数，说明理由？ A. ； ; B. ； C．； 、D. ； ③函数与是不是同一个函数？为什么？ 三、由解析式求函数的定义域 求函数的定义域主要考虑： ⑴分母不能为零; 如例题1、⑵⑶⑷⑹⑺⑻⑼⑽ ⑵偶次根式的被开方数非负；如例题1、⑵⑸⑹⑺⑻⑼ ⑶函数本身指明的定义域； ⑷问题的实际意义； 例题1、求下列函数的定义域（用区间或集合表示） ⑴　　　 　⑵　　　 　⑶ ⑷； 　 ⑸； 　　　　 　 ⑹ ⑺； 　 ⑻ ⑼　　　　　 　 ⑽ 四、复合函数的定义域： 复合函数，记，内层函数为，外层函数为。 ㈠若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可； ㈡若已知的定义域为,求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）。 例题2：⑴已知函数的定义域是，则的定义域是 ； ⑵已知函数的定义域是，则的定义域是 ； ⑶已知函数的定义域是，则的定义域是 ； ⑷已知函数的定义域是，则的定义域是 。 练习：5.若函数的定义域为，则函数的定义域为 6.若函数的定义域为[1，1]，则函数的定义域 。 例题3：求函数的的定义域和值域（用区间表示）： ⑴；　　 ⑵；　 ⑶； ⑷　　 ⑸　 ⑹ 练习 1. 说出下列函数的定义域与值域： ⑴； ⑵； 2. 已知，求， ， . 3．若一次函数满足，求 4.一次函数满足，则 5.已知函数，,求, 、，，. 五．分段函数： 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的，对应法则不同） 例题4：已知函数，①若则 ②若则 。 练习：1.已知函数，①若则 ； ②若则 。 2.已知，作出的图象，求的值. 3. 已知，则 ； ， 。 六、求值及求函数解析式 例题5：已知函数，则 。 练习：1.已知函数，则 ； 。 例题6：已知函数，且，则 。 练习：2.已知函数，且，则 。 例题7：已知函数，则 。 练习：3. 已知函数，则 例题8：已知满足，则 。 七、单调性 利用定义证明函数在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取，∈D，且， 作差； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差的正负）； 下结论（即指出函数在给定的区间D上的单调性）． 单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 1.若定义在上的函数在区间上是增函数,在区间上也是增函数，则函数在上是增函数。 例如：函数， 2.若定义在上的函数在区间上是增函数,在区间上也是增函数，则函数在上不一定是增函数。 例如：函数 和 3.⑴函数的定义域为 ，在定义域内是单调 函数（填上“增”或“减”），函数只有 区间（填上“增”或“减”），值域是 。 ⑵函数的定义域为 ，在上是单调 函数（填上“增”或“减”），最大值是 ，最小值是 ，值域是 。 ⑶一次函数在定义域内为 函数； 一次函数在定义域内为 函数（填上“增”或“减”）。 4. ⑴函数的定义域是 ，值域是