专题15 三角函数值的相关计算与应用（11大题型）-2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题15 三角函数值的相关计算与应用（11大题型） 【题型目录】 题型一 求特殊角的三角函数值 题型二 特殊角三角函数值的混合运算 题型三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型四 由计算器求锐角三角函数值 题型五 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型六 已知角度比较三角函数值的大小 题型七 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型八 利用同角三角函数关系求值 题型九 求证同角三角函数关系式 题型十 互余两角三角函数的关系 题型十一 三角函数综合 【知识梳理】 知识点1：特殊锐角三角比的值 1.特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 3.通过观察上面的表格，可以总结出： 当0 90 ， 的正弦值随着角度的增大而增大， 的余弦值随着角度的增大而减小； 的正切值随着角度的增大而增大， 的余切值随着角度的增大而减小． 【经典例题一 求特殊角的三角函数值】 1．（2023·湖北武汉·模拟预测）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为(　　) A． B． C． D． 2．（2023·陕西榆林·校考三模）如图，在菱形中，．点分别为四边的中点，连接，则 ．    3．（2023秋·全国·九年级专题练习）先化简，再求代数式的值，其中；． 【经典例题二 特殊角三角函数值的混合运算】 1．（2023春·天津·九年级专题练习）下列计算错误的个数是（    ） ①；；③； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为 ． 3．（上海市闵行区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）计算： 【经典例题三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 1．（2023春·天津和平·九年级专题练习）中，、都是锐角，且，，则的形状是（    ）． A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 2．（2022春·九年级课时练习）在中，，则为 三角形． 3．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值． 【经典例题四 由计算器求锐角三角函数值】 1．（2022·山东东营·模拟预测）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 2 yx 3 － 16 ＝，按键的结果为m； 2ndF 6 4 － 2 x2 ＝，按键的结果为n； 9 ab/c  2  －  cos  60 ＝，按键的结果为k． 下列判断正确的是（    ） A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k 2．（2023秋·九年级课时练习）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分． A．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是 ． B．用科学计算器计算：13××sin14°≈ （结果精确到0.1） 3．（2023秋·九年级课时练习）用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题五 根据特殊角三角函数值求角的度数】 1．（2023·全国·九年级专题练习）已知等腰三角形中，于，且，则等腰三角形的底角的度数为(　　) A． B． C．或或 D． 2．（2023·河北石家庄·校联考二模）如图，以矩形的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线，交于点E，连接，交于点F，若，． （1） ； （2）的长为 ．    3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)联结，求的度数； (3)联结、、，若在坐标轴上存在一点，使，求点的坐标． 【经典例题六 已知角度比较三角函数值的大小】 1．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 2．（2019·浙江杭州·模拟预测）（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 3．（2021春·全国·九年级专题练习）我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示. （1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试分别比较，，，角的正弦，余弦，正切值的大小. 【经典例题七 根