第4章 3 专项10 数学思想方法在三角形中的应用-【勤径学升】2023-2024学年七年级下册数学同步练测配套教师用书（北师大版）

专项10　数学思想方法在三角形中的应用 分类讨论思想　　 一个等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则该等腰三角形的周长为(　　) A.20 B.12 或 20 C.16 D.16或20 在△ABC中，∠B＝30°，AD是BC边上的高，∠CAD＝40°，则∠BAC＝________. 在△ABC中，∠A＝47°，高BE，CF所在直线交于点O，且点E，F不与点C，B重合，求∠BOC 的度数. 数形结合思想　　 如图，将五边形ABCDE沿AD向下折叠，使点E的对应点F恰好落在BC上，已知△ABF≌△FCD，∠B＝90°. 4题图 (1)试说明：AF⊥DF； (2)若AF＝8，求△AED的面积. 转化思想　　 (松原月考)在△ABC 中，∠ABC＝∠BAC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠EDF＝90°，将∠EDF绕点 D旋转，它的两边分别交AC，CB(或它们的延长线)于点E，F.当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时(如图①)，易得出结论S△DEF ＋ S△CEF＝S△ABC.当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时(如图②和图③)，上述结论是否成立？ 若成立，请说明理由；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的数量关系？ 请写出你的猜想，不需说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项10　数学思想方法在三角形中的应用 1.A　[解析]分两种情况：①当腰长为4，底边长为8时，因为4＋4＝8，所以不能构成三角形；②当腰长为8，底边长为4时，因为4＋8＝12>8，所以能构成三角形，此时周长是8＋8＋4＝20.故选A. 2.100°或 20°　[解析]分两种情况：①如答图①，因为AD为BC边上的高，所以∠ADB＝90°，因为∠B＝30°，所以∠BAD＝60°，因为∠CAD＝40°，所以∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝60°＋40°＝ 100°.②如答图②，因为AD为BC边上的高，所以∠ADB＝90°，因为∠B＝30°，所以∠BAD＝60°，因为∠CAD＝40°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°－40°＝ 20°.综上所述，∠BAC的度数为100°或20°. 2题答图①　　　2题答图② 由于此题没有给出图形，易只考虑高在△ABC内部的情况，而忽略高在△ABC外部的情况，造成漏解. 3.解：分两种情况讨论： ①如答图①，当交点O在△ABC的内部时， 在△AFC中，∠A＝47°，∠AFC＝90°， 所以∠ACF＝180°－47°－90°＝43°. 在△COE中，∠CEO＝90°，∠OCE＝43°， 所以∠COE＝180°－90°－43°＝47°， 所以∠BOC＝180°－47°＝133°. 3题答图①　　　　3题答图② ②如答图②，当交点O在△ABC的外部时， 在△AFC中，∠A＝47°，∠AFC＝90°， 所以∠1＝180°－90°－47°＝43°， 所以∠OCE＝∠1＝43°. 在△CEO中，∠OCE＝43°，∠CEO＝90°， 所以∠EOC＝180°－90°－43°＝47°. 即∠BOC＝47°. 综上，∠BOC的度数为47°或133°. 4.解：(1)因为∠B＝90°， 所以∠BAF＋∠BFA＝90°. 因为△ABF≌△FCD， 所以∠FAB＝∠DFC， 所以∠BFA＋∠DFC＝90°， 所以∠AFD＝90°，所以AF⊥DF. (2)因为△ABF≌△FCD， 所以DF＝AF＝8. 由(1)得AF⊥DF， 所以S△AFD＝AF·FD＝×8×8＝32. 由折叠的性质得 S△AED＝S△AFD＝32. 5.解：在题图2中，结论仍成立.理由如下： 过点D作DM⊥AC于点 M，DN⊥BC于点N， 则∠AMD＝∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°. 因为D为AB的中点， 所以AD＝BD. 在△ADM和△BDN中， 所以△ADM≌△BDN(AAS)， 所以DM＝DN. 因为∠MDN＝∠EDF＝90°， 所以∠MDN－∠EDN＝∠EDF－∠EDN， 即∠MDE＝∠NDF. 在△DME和△DNF中， 所以△DME≌△DNF(ASA)， 所以S△DME ＝S△DNF， 所以 S四边形DMCN＝S四边形DECF＝S△DEF ＋S△CEF. 由题意，知S四边形DMCN＝S△ABC， 所以S△DEF ＋S△CEF＝S△ABC. 所以在题图2中结论成立. 在题图3中结论不成立. S△DEF，S△CEF，S△ABC的数量关系是 S△DEF－S△CEF＝S△ABC. 学科网（北京）股份有限公司 $$